Calcule d zd t fazendo uso da regra da cadeia.
(b) z=x^2+3 y^2, x=sen t, y=cos t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de z em relação a t usando a regra da cadeia, com z=x^2+3y^2, x=sin t e y=cos t. O conteúdo é cálculo de derivadas compostas — precisamos das derivadas parciais de z e das derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como z=x^2+3y^2, temos
partial zpartial x=2x,
partial zpartial y=6y

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a t. Com x=sin t e y=cos t, obtemos
dxdt=cos t,
dydt=-sin t

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
dzdt =partial zpartial xdxdt +partial zpartial ydydt
Substituindo:
dzdt =2xcdotcos t+6ycdot(-sin t)

Passo 5

Por fim, substituímos x=sin t e y=cos t e simplificamos:
dzdt =2sin tcos t-6cos tsin t =-4sin tcos t =-2sin(2t)

Resposta

dzdt=-4sin tcos t=-2sin(2t)

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