Q 91 Seja f(x)=1x^2-1 uma curva. Caso exista, escreva a equação da reta normal a curva, tal que seja paralela à reta r: x=1.

Passo 1

O enunciado pede a reta normal à curva
f(x)=1x^2-1
que seja paralela à reta rcolon x=1.
Conteúdo: derivada de função, tangente e normal a uma curva. Para a normal ser paralela a x=1 ela deve ser vertical, logo o ramo da curva deve ter tangente horizontal nesse ponto.

Passo 2

Vamos achar a derivada de f. Usando a regra da cadeia em
f(x) = (x^2-1)^-1,
temos
f'(x) = -1cdot (x^2-1)^-2cdot 2x = -2x(x^2-1)^2

Passo 3

Para que a reta normal seja vertical, a reta tangente precisa ser horizontal, isto é,
f'(x0) = 0
Da expressão de f'(x) vem
-2x0(x0^2-1)^2 = 0 Longrightarrow x0=0

Passo 4

Verificamos que em x0=0 o denominador (0^2-1)^2=1 não anula, logo o ponto (0,f(0)) existe na curva. Como f'(0)=0, o coeficiente angular da normal é infinito, ou seja, é uma reta vertical. Portanto a equação da normal é
x = x0 = 0

Resposta

x=0

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