Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
e
Passo 1
O enunciado define a região
.
Vamos esboçar essa faixa no plano, determinar a sua fronteira (ou contorno) e depois verificar se é aberto, fechado, limitado, compacto ou conexo. Para isso precisamos lembrar que
– a fronteira é o conjunto de pontos em que toda vizinhança intercepta tanto
quanto o complemento de
;
– aberto significa que todos os pontos de são interiores;
– fechado significa que contém todos os seus pontos de fronteira;
– limitado significa que cabe num disco de raio finito;
– compacto, em , significa fechado e limitado;
– conexo significa que não dá para separar em duas partes disjuntas abertas.
Vamos esboçar essa faixa no plano, determinar a sua fronteira (ou contorno) e depois verificar se
– a fronteira
– aberto significa que todos os pontos de
– fechado significa que contém todos os seus pontos de fronteira;
– limitado significa que cabe num disco de raio finito;
– compacto, em
– conexo significa que não dá para separar
Passo 2
Esboço e descrição de
:
Imagine as duas retas horizontais e
, e considere a faixa entre elas. Nessa faixa,
varia de
a
incluindo as próprias linhas
e
. Já a condição
diz que a região fica à direita do eixo
, mas sem incluir os pontos com
.
Portanto, é uma faixa semi-infinita:
– delimitada em cima por (inclusa),
– em baixo por (inclusa),
– e aberta à esquerda em , estendendo-se até
.
Imagine as duas retas horizontais
Portanto,
– delimitada em cima por
– em baixo por
– e aberta à esquerda em
Passo 3
Determinação da fronteira
.
Pela definição de fronteira, temos três “lados” que tocam pontos de fora e de dentro:
Pela definição de fronteira, temos três “lados” que tocam pontos de fora e de dentro:
Aqui
– o segmento (borda inferior),
– o segmento (borda superior),
– e o segmento vertical (borda esquerda).
– o segmento
– o segmento
– e o segmento vertical
Passo 4
Classificação de
:
– Aberto? Não, pois os pontos de ou
não têm vizinhança totalmente contida em
.
– Fechado? Não, pois não contém o segmento que faz parte da fronteira.
– Limitado? Não, pois vai até
.
– Compacto? Não, já que não é fechado nem limitado.
– Conexo? Sim, pois é um único pedaço contínuo: entre quaisquer dois pontos existe um caminho dentro de .
– Aberto? Não, pois os pontos de
– Fechado? Não, pois não contém o segmento
– Limitado? Não, pois
– Compacto? Não, já que não é fechado nem limitado.
– Conexo? Sim, pois é um único pedaço contínuo: entre quaisquer dois pontos existe um caminho dentro de
Resposta
Fronteira:
Classificação: apenas conexo (C); não é aberto, nem fechado, nem limitado, nem compacto.