Esboce a região
R do plano
R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
R=(x, y) in R^2 ; 0<x e
1 <= y <= 2

Passo 1

O enunciado define a região
R = (x,y)inR^2 mid 0 < x,;1 <= y <= 2.
Vamos esboçar essa faixa no plano, determinar a sua fronteira (ou contorno) e depois verificar se R é aberto, fechado, limitado, compacto ou conexo. Para isso precisamos lembrar que
– a fronteira partial R é o conjunto de pontos em que toda vizinhança intercepta tanto R quanto o complemento de R;
– aberto significa que todos os pontos de R são interiores;
– fechado significa que contém todos os seus pontos de fronteira;
– limitado significa que cabe num disco de raio finito;
– compacto, em R^2, significa fechado e limitado;
– conexo significa que não dá para separar R em duas partes disjuntas abertas.

Passo 2

Esboço e descrição de R:
Imagine as duas retas horizontais y=1 e y=2, e considere a faixa entre elas. Nessa faixa, y varia de 1 a 2 incluindo as próprias linhas y=1 e y=2. Já a condição 0<x diz que a região fica à direita do eixo y, mas sem incluir os pontos com x=0.
Portanto, R é uma faixa semi-infinita:
– delimitada em cima por y=2 (inclusa),
– em baixo por y=1 (inclusa),
– e aberta à esquerda em x=0, estendendo-se até xto+infty.

Passo 3

Determinação da fronteira partial R.
Pela definição de fronteira, temos três “lados” que tocam pontos de fora e de dentro:
partial R =(x,1)mid x>0 ;cup; (x,2)mid x>0 ;cup; (0,y)mid 1<= y<=2
Aqui
– o segmento (x,1)mid x>0 (borda inferior),
– o segmento (x,2)mid x>0 (borda superior),
– e o segmento vertical (0,y)mid 1<= y<=2 (borda esquerda).

Passo 4

Classificação de R:
– Aberto? Não, pois os pontos de y=1 ou y=2 não têm vizinhança totalmente contida em R.
– Fechado? Não, pois não contém o segmento (0,y)mid1<= y<=2 que faz parte da fronteira.
– Limitado? Não, pois x vai até +infty.
– Compacto? Não, já que não é fechado nem limitado.
– Conexo? Sim, pois é um único pedaço contínuo: entre quaisquer dois pontos existe um caminho dentro de R.

Resposta

Fronteira:
partial R =(x,1)mid x>0 ;cup; (x,2)mid x>0 ;cup; (0,y)mid 1<= y<=2
Classificação: apenas conexo (C); não é aberto, nem fechado, nem limitado, nem compacto.

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