1.94 Use a relação , com e demonstre que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(utimesv)cdot(wtimesz) =(ucdotw)(vcdotz) -(ucdotz)(vcdotw)
O conteúdo aqui é a propriedade cíclica do produto misto (ou triplo escalar)
[a,b,c]=acdot(btimesc),
que satisfaz
[w,z,X]=[X,w,z]
Também precisaremos da identidade do produto vetorial em vetor cruz (identidade de Lagrange)
ztimes(utimesv) =u,(zcdotv) -v,(zcdotu)

Passo 2

Definimos X=utimesv. Então, pela propriedade cíclica do produto misto,
[X,w,z] =[w,z,X]
Mas
[X,w,z] =Xcdot(wtimesz) =(utimesv)cdot(wtimesz),
e
[w,z,X] =wcdotl(ztimes(utimesv)r)
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(utimesv)cdot(wtimesz) =wcdotl(ztimes(utimesv)r)

Passo 3

Agora aplicamos a identidade de Lagrange ao produto vetorial aninhado:
ztimes(utimesv) =u,(zcdotv) -v,(zcdotu)
Substituindo em cima,
(utimesv)cdot(wtimesz) =wcdotl[u,(zcdotv) -v,(zcdotu)r]

Passo 4

Distribuindo o produto escalar em wcdot(dots), obtemos
wcdotl[u,(zcdotv)r] -wcdotl[v,(zcdotu)r] =(zcdotv)(wcdotu) -(zcdotu)(wcdotv)
Como o produto escalar é comutativo, wcdotu=ucdotw e zcdotv=vcdotz, segue
(utimesv)cdot(wtimesz) =(ucdotw)(vcdotz) -(ucdotz)(vcdotw)

Resposta

(utimesv)cdot(wtimesz) =(ucdotw)(vcdotz) -(ucdotz)(vcdotw)

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