Seja X um espaço normado.
(a) Mostre que se x0 in X e lambda in K backslash0 então são homeomorfismos as aplicaçôes x in X mapsto x+x0 in X e x in X mapsto lambda x in X.
(b) Conclua que um subconjunto A de X é aberto se, e somente se, x0+A xlon>=ual def x0+a: a in A é aberto. Mostre o resultado análogo para lambda A xlon>=ual def lambda a: a in A com lambda in K backslash0.
(c) Mostre que se A é aberto e B é um conjunto qualquer, então A+B xlon>=ual def a+b : a in A, b in B é aberto em X. Sugestão: Escreva A+B como união de conjuntos abertos.
(d) Se F e G são fechados em X, F+G é necessáriamente fechado? Prove ou dê um contra-exemplo. Sugestão: Considere os conjuntos F1=(x, 1 / x) in R^2: x>0 e F2=(x,-1 / x) in R^2: x>0
(e) Mostre que se F é fechado e K é compacto então F+K é fechado. Sugestão: Use a caracterização de compacidade por sequência, válida para espaços métricos.
(f) Mostre que barA+barB subset A+B. É válida a inclusão contrária? O item (d) pode ajudar.

Passo 1

Resumo do enunciado: em um espaço normado X queremos mostrar que as translações xmapsto x+x0 e as homotetias xmapstolambda x (com lambdaneq0) são homeomorfismos; deduzir que essas aplicações preservam a abertura de conjuntos; provar que a soma de um aberto com qualquer conjunto é aberta; dar contra-exemplo de soma de fechados que não é fechada; mostrar que soma de um fechado com um compacto é fechada; e, enfim, comparar A+B com A+B. Usaremos continuidade de funções afins, propriedades de união infinita de abertos, compacidade por sequência e argumentos de limite.

Passo 2

(a) Defina
Tx0:Xto X, Tx0(x)=x+x0
Então Tx0 é bijetora e sua inversa é
Tx0^-1(y)=y - x0
Como
|Tx0(x)-Tx0(x')|=|(x+x0)-(x'+x0)|=|x-x'|,
Tx0 é contínua e igualmente sua inversa, logo é homeomorfismo.
Analogamente, para lambdaneq0,
Hlambda:Xto X, Hlambda(x)=lambda x
é bijetora com inversa Hlambda^-1(y)=1lambda y e
|Hlambda(x)-Hlambda(x')|=|lambda|,|x-x'|,
mostrando continuidade mútua. Portanto Hlambda também é homeomorfismo.

Passo 3

(b) Se f:Xto X é homeomorfismo e Asubset X, então A é aberto em X se, e somente se, f(A) é aberto em X. Aplicando a Tx0 concluímos que
A abertoLong<=ftrightarrow x0+A é aberto é
O mesmo vale para lambda A=Hlambda(A).

Passo 4

(c) Suponha A aberto e seja Bsubset X qualquer. Observe que
A+B=a+b:ain A,;bin B =cupbin B(A+b)
Cada A+b é tradução de A, logo é aberta. Uma união (mesmo infinita) de abertos é aberta, logo A+B é aberto.

Passo 5

(d) Nem sempre a soma de dois fechados é fechada. Contra-exemplo em :
Cada é o gráfico de função contínua em e, por um argumento de sequência, toda sequência convergente em tem limite em , logo e são fechados em . Mas
que é o raio aberto . Esse conjunto acumula em , porém , mostrando que não é fechado.

Passo 6

(e) Se F é fechado e K é compacto em X (espaço métrico), tome (zn)subset F+K com znto z. Escreva zn=fn+kn com fnin F, knin K. Como K é compacto, existe subsequência knjto kin K. Então
fnj=znj-knj;longrightarrow;z-k
Como F é fechado, z-kin F. Logo z=(z-k)+kin F+K. Concluímos que F+K é fechado.

Passo 7

(f) Se ainA e binB, existem sequências anto a, bnto b com anin A, bnin B. Então an+bnin A+B e converge a a+b, mostrando
A+B;subset;A+B
A inclusão inversa em geral não vale, pois se aplicarmos ao contra-exemplo de (d) temos F1=F1, F2=F2 e já vimos que F1+F2neq F1+F2.

Resposta

(a) As translações e as homotetias ( ) são homeomorfismos.
(b) é aberto em sse é aberto; idem para .
(c) Se é aberto e é qualquer, então é aberto.
(d) Soma de dois fechados nem sempre é fechada (contra-exemplo em com ).
(e) Se é fechado e compacto, então é fechado.
(f) Sempre ; a inclusão inversa falha em geral.

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