(Conjuntos convexos) Um subconjunto C de um espaço vetorial é convexo se, para todo escalar lambda in[0,1] e x, y in C temos que lambda x+(1-lambda) y in C.
(a) Mostre que as bolas de um espaço normado são convexas.
(b) Mostre que se C é um subconjunto convexo de um espaço normado, então seu fecho também é convexo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades de convexidade num espaço vetorial normado (V,|cdot|):
– (a) que toda bola (aberta ou fechada) centrada em ain V e de raio r>0 é um conjunto convexo;
– (b) que, se Csubset V é convexo, então o seu fecho C também é convexo.
Vamos usar a definição de convexidade, a homogeneidade da norma, a desigualdade triangular e propriedades de fechamento (limites de sequências).

Passo 2

Prova de (a). Seja
B = ,xin Vmid |x - a|<= r
(a mesma prova vale trocando <= r por <r para bola aberta). Tomemos x,yin B e lambdain[0,1]. Então
|lambda x + (1-lambda)y - a| = |lambda(x - a) + (1-lambda)(y - a)|
pelo uso da homogeneidade e da desigualdade triangular obtemos
|lambda(x - a) + (1-lambda)(y - a)| <= lambda|x - a| + (1-lambda)|y - a| <= lambda r + (1-lambda)r = r
Logo lambda x + (1-lambda)yin B, o que prova que B é convexo.

Passo 3

Prova de (b). Seja Csubset V convexo e considere seu fecho C. Tomemos u,vinC e lambdain[0,1]. Como u,v estão no fecho, existem sequências (un)subset C e (vn)subset C tais que
un to u, vn to v
Pela convexidade de C, para cada n vale
wn = lambda un + (1-lambda)vn in C
Mas então, pela continuidade das operações lineares e da norma, a sequência (wn) converge a
lambda u + (1-lambda)v
Isso mostra que lambda u + (1-lambda)v pertence a C. Logo C é convexo.

Resposta

(a) As bolas de qualquer espaço normado são convexas.
(b) O fecho de um conjunto convexo em espaço normado é convexo.

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