1.95 Sejam u, v, w uma base do espaço e X um vetor qualquer. Use o Exercício 1.92 e deduza que:
X=1De<a[X, v, w] u+1De<a[u, X, w] v+1De<a[u, v, X] w

Passo 1

O enunciado pede para escrever um vetor arbitrário X na base u,v,w usando produto misto. Aqui De<a=[u,v,w]neq0 pois u,v,w é base. Vamos usar a multilinearidade e alternância do produto misto (Exercício 1.92), que diz em particular que, se
X=alpha,u+beta,v+gamma,w,
então basta aplicar [cdot,v,w], [u,cdot,w] e [u,v,cdot] para isolar alpha,beta,gamma.

Passo 2

Escrevemos
X=alpha,u+beta,v+gamma,w,
com alpha,beta,gammainR. Como [,,, ,,] é linear em cada argumento, temos para o primeiro coeficiente:
[X,v,w] =[alpha,u+beta,v+gamma,w,,v,,w] =alpha,[u,v,w]+beta,[v,v,w]+gamma,[w,v,w]
Mas [v,v,w]=[w,v,w]=0 por alternância, então
[X,v,w]=alpha,De<a

Passo 3

De maneira análoga, aplicando o produto misto nas outras posições obtemos
[u,X,w]=beta,[u,v,w]=beta,De<a, [u,v,X]=gamma,[u,v,w]=gamma,De<a
Como De<aneq0, segue
alpha=[X,v,w]De<a, beta=[u,X,w]De<a, gamma=[u,v,X]De<a

Passo 4

Bastou encontrar alpha,beta,gamma e voltar à expressão de X. Assim
X =[X,v,w]De<a,u +[u,X,w]De<a,v +[u,v,X]De<a,w

Resposta

boxed X =1De<a,[X,v,w];u +1De<a,[u,X,w];v +1De<a,[u,v,X];w

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