1.95 Sejam
uma base do espaço e
um vetor qualquer. Use o Exercício 1.92 e deduza que:
Passo 1
O enunciado pede para escrever um vetor arbitrário
na base
usando produto misto. Aqui
pois
é base. Vamos usar a multilinearidade e alternância do produto misto (Exercício 1.92), que diz em particular que, se
então basta aplicar
,
e
para isolar
.
Passo 2
Escrevemos
com
. Como
é linear em cada argumento, temos para o primeiro coeficiente:
Mas
por alternância, então
Passo 3
De maneira análoga, aplicando o produto misto nas outras posições obtemos
Como
, segue
Passo 4
Bastou encontrar
e voltar à expressão de
. Assim