8-95 Um sistema de aquecimento distrital geotérmico envolve o transporte de água geotérmica a 110^circ C de um poço geotérmico para uma cidade com aproximadamente a mesma altitude por uma distância de 12 km , a uma vazão de 1,5 m^3 / s, em tubos de aço inoxidável de 60 cm de diâmetro. As pressões do fluido na cabeça do poço e no ponto de chegada na cidade devem ser iguais. As perdas menores são desprezíveis devido à grande razão entre comprimento e diâmetro e ao número relativamente pequeno de componentes que causam perdas menores. (a) Assumindo que a eficiência da bomba-motor é de 80 %, determine o consumo de potência elétrica do sistema para o bombeamento. Você recomendaria o uso de uma única bomba grande ou de diversas bombas menores com mesma potência total de bombeamento espalhadas pela tubulação? Explique. (b) Determine o custo diário do consumo de potência do sistema se o custo unitário da eletricidade é de . © A queda da temperatura da água geotérmica é estimada como (c) A queda da temperatura da água >=otérmica é estimada como durante esse escoamento longo. Determine se o aquecimento por atrito durante o escoamento pode compensar essa queda da temperatura.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem água geotérmica a 110 °C que precisa ser bombeada por 12 km numa tubulação de aço inox de diâmetro 0,60 m, com vazão de 1,5 m³/s e sem diferença de altitude entre início e fim. A eficiência da bomba-motor vale 80 %. A gente vai precisar de mecânica dos fluidos (fórmula de Darcy–Weisbach pra perda de carga), cálculo do número de Reynolds e fator de atrito (Colebrook), potência hidráulica e elétrica, custo de energia e, por fim, estimar a elevação de temperatura por atrito.

Passo 2

Calcular velocidade média, Reynolds e fator de atrito:
  1. Área da seção transversal A = πD²/4 = π·(0,60)²/4 ≃ 0,283 m².
  2. Velocidade v = Q/A = 1,5/0,283 ≃ 5,30 m/s.
  3. Propriedades da água a 110 °C (aprox.): ρ ≃ 958 kg/m³, μ ≃ 1,98·10⁻⁴ Pa·s.
  4. Número de Reynolds Re = ρ,v,Dμ = 958·5,30·0,601,98·10^-4 sim 1,5·10^7, ou seja, escoamento totalmente turbulento.
  5. Rugosidade de aço inox típica: ε ≃ 4,5·10⁻⁵ m, logo ε/D ≃ 7,5·10⁻⁵.
  6. Fator de atrito f (via Colebrook–White): 1raiz f = -2,log10(ε/D3,7 + 5,74Re^0,9), dá f ≃ 0,0116.

Passo 3

Calcular perda de carga total e potência:
  1. Perda de carga (Darcy–Weisbach): hL = f,LD,v^22g = 0,0116 · 12,0000,6 · (5,30)^22·9,81 simeq 331;m
  2. Potência hidráulica necessária: Ph = ρ,g,Q,hL = 958·9,81·1,5·331 simeq 4,66·10^6;W = 4,66;MW
  3. Como a bomba tem eficiência η=0,80, a potência elétrica é Pel = Phη = 4,660,80 simeq 5,83;MW

Passo 4

Única bomba grande ou várias menores?
  • Do ponto de vista ENERGÉTICO, a energia consumida é a mesma (mesma carga total e mesma vazão).
  • Porém, distribuir bombas menores ao longo da tubulação reduz a pressão de projeto dos tubos, melhora a confiabilidade (se uma falha as outras seguram o sistema) e facilita manutenção.
    Logo, eu recomendaria várias bombas menores espalhadas.

Passo 5

Custo diário de energia:
  • Potência elétrica ≃ 5,83 MW = 5.830 kW.
  • Energia em 24 h: 5.830 kW·24 h = 139.920 kWh.
  • Custo a $ 0,06/kWh: 139.920·0,06 ≃ $ 8.395 por dia.

Passo 6

Elevação de temperatura por atrito:
  • Cada 1 m de carga equivale a g·1 m ≃9,81 J/kg.
  • Para 331 m: energia interna ≃ 9,81·331 ≃ 3.250 J/kg.
  • Cp da água ≃ 4.180 J/(kg·K).
  • ΔT = 3.250/4.180 ≃ 0,78 °C.
    Como a água esfria cerca de 0,5 °C, o aquecimento por atrito (0,78 °C) compensa bem essa queda.

Resposta

Potência elétrica ≃ 5,83 MW; conselho de usar bombas menores e distribuídas; custo diário ≃ $ 8.400; e a temperatura sobe ≃ 0,78 °C por atrito, compensando os 0,5 °C de resfriamento.

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