8-95 Um sistema de aquecimento distrital geotérmico envolve o transporte de água geotérmica a
de um poço geotérmico para uma cidade com aproximadamente a mesma altitude por uma distância de 12 km , a uma vazão de
, em tubos de aço inoxidável de 60 cm de diâmetro. As pressões do fluido na cabeça do poço e no ponto de chegada na cidade devem ser iguais. As perdas menores são desprezíveis devido à grande razão entre comprimento e diâmetro e ao número relativamente pequeno de componentes que causam perdas menores. (a) Assumindo que a eficiência da bomba-motor é de
, determine o consumo de potência elétrica do sistema para o bombeamento. Você recomendaria o uso de uma única bomba grande ou de diversas bombas menores com mesma potência total de bombeamento espalhadas pela tubulação? Explique. (b) Determine o custo diário do consumo de potência do sistema se o custo unitário da eletricidade é de
. © A queda da temperatura da água geotérmica é estimada como
durante esse escoamento longo. Determine se o aquecimento por atrito durante o escoamento pode compensar essa queda da temperatura.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem água geotérmica a 110 °C que precisa ser bombeada por 12 km numa tubulação de aço inox de diâmetro 0,60 m, com vazão de 1,5 m³/s e sem diferença de altitude entre início e fim. A eficiência da bomba-motor vale 80 %. A gente vai precisar de mecânica dos fluidos (fórmula de Darcy–Weisbach pra perda de carga), cálculo do número de Reynolds e fator de atrito (Colebrook), potência hidráulica e elétrica, custo de energia e, por fim, estimar a elevação de temperatura por atrito.
Passo 2
Calcular velocidade média, Reynolds e fator de atrito:
- Área da seção transversal A = πD²/4 = π·(0,60)²/4 ≃ 0,283 m².
- Velocidade v = Q/A = 1,5/0,283 ≃ 5,30 m/s.
- Propriedades da água a 110 °C (aprox.): ρ ≃ 958 kg/m³, μ ≃ 1,98·10⁻⁴ Pa·s.
- Número de Reynolds
ou seja, escoamento totalmente turbulento. - Rugosidade de aço inox típica: ε ≃ 4,5·10⁻⁵ m, logo ε/D ≃ 7,5·10⁻⁵.
- Fator de atrito f (via Colebrook–White):
dá f ≃ 0,0116.
Passo 3
Calcular perda de carga total e potência:
- Perda de carga (Darcy–Weisbach):
- Potência hidráulica necessária:
- Como a bomba tem eficiência η=0,80, a potência elétrica é
Passo 4
Única bomba grande ou várias menores?
- Do ponto de vista ENERGÉTICO, a energia consumida é a mesma (mesma carga total e mesma vazão).
- Porém, distribuir bombas menores ao longo da tubulação reduz a pressão de projeto dos tubos, melhora a confiabilidade (se uma falha as outras seguram o sistema) e facilita manutenção.
Logo, eu recomendaria várias bombas menores espalhadas.
Passo 5
Custo diário de energia:
- Potência elétrica ≃ 5,83 MW = 5.830 kW.
- Energia em 24 h: 5.830 kW·24 h = 139.920 kWh.
- Custo a $ 0,06/kWh: 139.920·0,06 ≃ $ 8.395 por dia.
Passo 6
Elevação de temperatura por atrito:
- Cada 1 m de carga equivale a g·1 m ≃9,81 J/kg.
- Para 331 m: energia interna ≃ 9,81·331 ≃ 3.250 J/kg.
- Cp da água ≃ 4.180 J/(kg·K).
- ΔT = 3.250/4.180 ≃ 0,78 °C.
Como a água esfria cerca de 0,5 °C, o aquecimento por atrito (0,78 °C) compensa bem essa queda.
Resposta
Potência elétrica ≃ 5,83 MW; conselho de usar bombas menores e distribuídas; custo diário ≃ $ 8.400; e a temperatura sobe ≃ 0,78 °C por atrito, compensando os 0,5 °C de resfriamento.