Suponha que o carrinho esteja inicialmente em repouso e sobre ele existam n garotos. Se cada garoto saltar sucessivamente com velocidade v m / s, eles transmitiriam ao carrinho maior velocidade do que seria transmitida se todos saltassem ao mesmo tempo? Justifique.

Passo 1

E aí! Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos um carrinho de massa parado, com garotos em cima (cada um de massa ). Cada garoto salta do carrinho com rapidez (vamos assumir que esse é a velocidade do garoto em relação ao carrinho, o que é mais comum nesse tipo de problema). A pergunta é: se eles saltam um a um (“sucessivamente”), o carrinho acaba com mais velocidade do que se todos saltassem ao mesmo tempo? Para responder precisamos usar a conservação do momento linear e entender como modelar a velocidade relativa do garoto em relação ao carrinho.

Passo 2

Vamos começar com o caso de um único salto (o primeiro garoto).
  1. Antes do salto, todo mundo (carrinho + vgaroto = uf + v garotos) está em repouso: velocidade 0 = (mc + (n-1)mk),uf ;+; mk,(uf + v) .
  2. Depois do salto, sobram 0 = (mc + (n-1)mk + mk),uf + mk,v Longrightarrow (mc + n mk),uf = -,mk,v Longrightarrow uf = -,mk,vmc + n mk garotos sobre o carrinho e o próprio carrinho, que se movimentam juntos com velocidade De. O garoto que saltou vai embora com velocidade relativa em relação ao carrinho, ou seja, em relação ao solo sua velocidade é
  1. Conservação de momento: momento inicial é zero, momento final é somatório do carrinho+resto mais o garoto que saiu:
  1. Isolando :
O sinal negativo indica que o carrinho vai na direção oposta ao salto, mas aqui vamos falar só do módulo:

Passo 3

Agora o segundo garoto salta. O sistema (carrinho + M2,u1 = M3,u2 + mk,(u2+v) Longrightarrow u2 = u1 ;-;mk,vmc + (n-1)mk garotos) já está se movendo com a velocidade que acabamos de achar, digamos De. Repetindo o mesmo raciocínio:
  • Antes do salto: massa total Vrm seq ;=;sumi=1^nDe com velocidade .
  • Depois: massa com velocidade , e garoto sai com .
Aplicando conservação de momento dá
Ou seja, o salto do segundo garoto aumenta (em módulo) a velocidade do carrinho em
Fazendo isso sucessivamente para todos os garotos, ao final a velocidade do carrinho (módulo) é

Passo 4

Agora o caso de todos saltando ao mesmo tempo. Antes: massa 0 = mc,Vrm sim ;+; n,mk,(Vrm sim+v) ;Longrightarrow; (mc + n,mk),Vrm sim = -,n,mk,v ;Longrightarrow; Vrm sim = n,mk,vmc + n,mk em repouso. Depois: o carrinho (agora sem nenhum garoto) de massa fica com velocidade e cada um dos garotos salta com velocidade relativa , ou seja, no solo ele vai com . Conservando momento:
(de novo, falando só de módulo).

Passo 5

Comparemos
Vrm seq = mk,vsumi=1^n1mc + i,mk versus Vrm sim = n,mk,vmc + n,mk
Como cada termo n;1mc + n,mk é maior do que Vrm seq ;>; Vrm sim (para ), a soma dos termos dá algo maior que
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Resposta

Sim! Se os garotos saltam um de cada vez, o carrinho atinge uma velocidade maior do que se todos saltassem ao mesmo tempo, por causa da soma de pequenas impulsões (e da conservação do momento) gerando mais velocidade final do que um único impulso conjunto.

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