Suponha que o carrinho esteja inicialmente em repouso e sobre ele existam
garotos. Se cada garoto saltar sucessivamente com velocidade
, eles transmitiriam ao carrinho maior velocidade do que seria transmitida se todos saltassem ao mesmo tempo? Justifique.
Passo 1
E aí! Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos um carrinho de massa
parado, com
garotos em cima (cada um de massa
). Cada garoto salta do carrinho com rapidez
(vamos assumir que esse
é a velocidade do garoto em relação ao carrinho, o que é mais comum nesse tipo de problema). A pergunta é: se eles saltam um a um (“sucessivamente”), o carrinho acaba com mais velocidade do que se todos saltassem ao mesmo tempo? Para responder precisamos usar a conservação do momento linear e entender como modelar a velocidade relativa do garoto em relação ao carrinho.
Passo 2
Vamos começar com o caso de um único salto (o primeiro garoto).
- Antes do salto, todo mundo (carrinho +
garotos) está em repouso: velocidade . - Depois do salto, sobram
garotos sobre o carrinho e o próprio carrinho, que se movimentam juntos com velocidade . O garoto que saltou vai embora com velocidade relativa em relação ao carrinho, ou seja, em relação ao solo sua velocidade é
- Conservação de momento: momento inicial é zero, momento final é somatório do carrinho+resto mais o garoto que saiu:
- Isolando
:
O sinal negativo indica que o carrinho vai na direção oposta ao salto, mas aqui vamos falar só do módulo:
Passo 3
Agora o segundo garoto salta. O sistema (carrinho +
garotos) já está se movendo com a velocidade que acabamos de achar, digamos
. Repetindo o mesmo raciocínio:
- Antes do salto: massa total
com velocidade . - Depois: massa
com velocidade , e garoto sai com .
Aplicando conservação de momento dá
Ou seja, o salto do segundo garoto aumenta (em módulo) a velocidade do carrinho em
Fazendo isso sucessivamente para todos os
garotos, ao final a velocidade do carrinho (módulo) é
Passo 4
Agora o caso de todos saltando ao mesmo tempo. Antes: massa
em repouso. Depois: o carrinho (agora sem nenhum garoto) de massa
fica com velocidade
e cada um dos
garotos salta com velocidade relativa
, ou seja, no solo ele vai com
. Conservando momento:
(de novo, falando só de módulo).
Passo 5
Comparemos
Como cada termo
é maior do que
(para
), a soma dos
termos dá algo maior que
Logo
Resposta
Sim! Se os garotos saltam um de cada vez, o carrinho atinge uma velocidade maior do que se todos saltassem ao mesmo tempo, por causa da soma de pequenas impulsões (e da conservação do momento) gerando mais velocidade final do que um único impulso conjunto.