3-96 A water tank is being towed on an uphill road that makes 20^{\circ} with the horizontal with a constant acceleration of 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} in the direction of motion. Determine the angle the free surface of water makes with the horizontal. What would your answer be if the direction of motion were downward on the same road with the same acceleration?

Passo 1

Enunciado e dados (o que é pedido e o que temos):\n
  • Um tanque com água é rebocado numa estrada inclinada de 20^\circ com a horizontal.
  • A aceleração do conjunto é constante e vale a=5\\ \mathrm{m/s^2} ao longo da direção do movimento.
  • Pedem: o ângulo que a superfície livre da água faz com a horizontal quando (a) o movimento é morro acima e (b) o movimento é morro abaixo, ambos com a mesma aceleração.
  • Dados numéricos: \theta=20^\circ, a=5\\ \mathrm{m/s^2}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Princípio físico essencial (explicado passo a passo, sem pular etapas):\n
Quando um líquido está em equilíbrio dentro de um recipiente que se move com aceleração constante, a superfície livre se orienta perpendicular à aceleração efetiva que atua no referencial do recipiente. Essa aceleração efetiva é a soma vetorial da gravidade para baixo e da aceleração inercial (força fictícia) igual a -\mathbf{a} (oposta à aceleração do referencial). Em outras palavras, no referencial acelerado existe um “campo gravitacional efetivo” \mathbf{g}_{\text{eff}}=\mathbf{g}-\mathbf{a}, e a superfície livre fica perpendicular a \mathbf{g}_{\text{eff}}.\n
Exemplo simples para fixar a ideia: se o recipiente acelera horizontalmente para a direita com aceleração a, a superfície se inclina formando um ângulo \varphi com a horizontal dado por \tan\varphi = \dfrac{a}{g}. Isso vem de decompor \mathbf{g}_{\text{eff}} em componentes horizontal e vertical e observar que a superfície é ortogonal a esse vetor.

Passo 3

Escolha de eixos e representação vetorial (como vamos aplicar o princípio):\n
Escolho um sistema de eixos (x,y) com x horizontal para a direita e y vertical para cima. A gravidade é \mathbf{g}=(0,-g). A aceleração do tanque \mathbf{a} tem direção ao longo da estrada inclinada (ângulo \theta=20^\circ acima da horizontal se for morro acima). Vou decompor \mathbf{a} em componentes horizontais e verticais:\n
\mathbf{a} = (a\cos\theta,\; a\sin\theta)
se o movimento for morro acima (para a direita e para cima no nosso desenho). No referencial do tanque, a aceleração inercial (força fictícia por unidade de massa) é -\mathbf{a}=(-a\cos\theta,\; -a\sin\theta). Então a aceleração efetiva é\n
\mathbf{g}_{\text{eff}}=\mathbf{g}-\mathbf{a} = (-a\cos\theta,\; -g-a\sin\theta).

Passo 4

Relação entre \mathbf{g}_{\text{eff}} e o ângulo da superfície livre (derivação da fórmula):\n
A superfície livre é perpendicular a \mathbf{g}_{\text{eff}}. Seja \varphi o ângulo que a superfície livre faz com a horizontal. O vetor normal à superfície tem componentes proporcionais às componentes de \mathbf{g}_{\text{eff}}. Assim, considerando magnitudes (tomando sinais para saber a direção), a tangente do ângulo \varphi é a razão entre a componente horizontal (módulo) e a componente vertical (módulo) de \mathbf{g}_{\text{eff}}:\n
\tan\varphi=\frac{|\text{componente horizontal de }\mathbf{g}_{\text{eff}}|}{|\text{componente vertical de }\mathbf{g}_{\text{eff}}|}
Para o caso morro acima os valores são\n
\text{componente horizontal}=a\cos\theta,\qquad \text{componente vertical}=g+a\sin\theta,
logo a fórmula que vamos usar é\n
\tan\varphi=\frac{a\cos\theta}{\,g+a\sin\theta\,}.
(Observação: usamos módulos porque \varphi é um ângulo entre a superfície e a horizontal — o sinal apenas indica qual lado está mais alto, que vou comentar depois.)

Passo 5

Aplicação ao caso: movimento morro acima (passo a passo com números):\n
Substituo \theta=20^\circ, a=5 e g=9,81. Primeiro calculo seno e cosseno de \theta:\n
\cos20^\circ\approx 0,9397,\qquad \sin20^\circ\approx 0,3420.
Agora as componentes:\n
a\cos\theta = 5\cdot 0,9397 \approx 4,6985,
a\sin\theta = 5\cdot 0,3420 \approx 1,7100.
Denominador:\n
g + a\sin\theta = 9,81 + 1,7100 = 11,5200.
Razão e ângulo:\n
\tan\varphi = \frac{4,6985}{11,5200} \approx 0,4079,
\varphi = \arctan(0,4079) \approx 22,2^\circ.

Passo 6

Interpretação física do resultado para morro acima (quem fica mais alto?):\n
O ângulo \varphi\approx 22,2^\circ indica que a superfície não fica horizontal; ela se inclina de modo que o lado voltado para cima da estrada (o lado dianteiro se o tanque vai para cima) fica mais baixo ou mais alto? Pelo sinal da componente horizontal de \mathbf{g}_{\text{eff}} (que é para a esquerda se a aceleração foi para a direita), a superfície fica inclinada de modo que o nível mais alto fica “para trás” relativamente ao movimento. Em resumo: a superfície inclina-se no sentido oposto à aceleração do tanque — isso é consistente com a intuição da “força inercial” que puxa o líquido para trás.

Passo 7

Caso movimento morro abaixo (mesma aceleração em módulo, direção oposta): derivação e números:\n
Agora a aceleração \mathbf{a} aponta morro abaixo (direção oposta), então na decomposição vertical o sinal de a\sin\theta troca. A fórmula para \tan\varphi fica\n
\tan\varphi=\frac{a\cos\theta}{\,g-a\sin\theta\,}.
Substituindo os números já calculados:\n
g - a\sin\theta = 9,81 - 1,7100 = 8,1000,
\tan\varphi = \frac{4,6985}{8,1000} \approx 0,5807,
\varphi = \arctan(0,5807) \approx 30,1^\circ.

Passo 8

Resumo e observação final (incluindo caso limite):\n
  • Para aceleração morro acima a inclinação relativa é menor porque a componente vertical da aceleração efetiva aumentou ( g+a\sin\theta ), reduzindo a razão horizontal/vertical.
  • Para aceleração morro abaixo a componente vertical efetiva diminui ( g-a\sin\theta), então a superfície inclina-se mais.
  • Observação útil para prova: a forma compacta das fórmulas é\n
\varphi_{\text{up}}=\arctan\!\left(\dfrac{a\cos\theta}{\,g+a\sin\theta\,}\right),\qquad \varphi_{\text{down}}=\arctan\!\left(\dfrac{a\cos\theta}{\,g-a\sin\theta\,}\right).
Use essa expressão e faça a decomposição vetorial cuidadosamente — isso resolve muitos problemas desse tipo.

Resposta

\varphi_{\text{up}} \approx 22,2^\circ\n
\varphi_{\text{down}} \approx 30,1^\circ

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