3-86 A 170-\mathrm{kg} granite rock ( \rho=2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) is dropped into a lake. A man dives in and tries to lift the rock. Determine how much force the man needs to apply to lift it from the bottom of the lake. Do you think he can do it?

Passo 1

O enunciado dá uma pedra de granito com massa 170\\ \mathrm{kg} e densidade do granito \rho_{\text{granito}}=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}. A pedra é deixada no fundo de um lago e um homem tenta levantá‑la. Perguntas: (1) qual a força que o homem precisa aplicar para levantá‑la do fundo do lago? (2) Você acha que ele consegue?
Dados relevantes que vamos usar (tomando água doce): \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Conceito necessário — Empuxo (Princípio de Arquimedes). O empuxo F_b é igual ao peso do fluido deslocado pela pedra. A fórmula é
F_b=\rho_{\text{fluido}}\,V\,g,
onde \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (aqui a água), V é o volume da pedra e g é a aceleração da gravidade.
Explicação das variáveis: \rho_{\text{fluido}} tem unidades \mathrm{kg/m^{3}}, V em \mathrm{m^{3}} e g em \mathrm{m/s^{2}}. O produto \rho V dá a massa do fluido deslocado; multiplicando por g obtemos o peso desse fluido — que é exatamente o empuxo.

Passo 3

Calcular o volume da pedra a partir da massa e da densidade do granito. A relação massa‑densidade é
V=\frac{m}{\rho_{\text{granito}}}.
Substituindo:
V=\frac{170}{2700}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora calculamos o valor numérico. \dfrac{170}{2700}=\dfrac{17}{270}\approx0{,}06296\\ \mathrm{m^{3}}.
Portanto,
V\approx0{,}06296\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Calcular o empuxo usando \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á:
F_b=\rho_{\text{água}}\,V\,g = 1000 \times 0{,}06296 \times 9{,}81\\ \mathrm{N}.á
Agora o produto numérico:
F_b \approx 1000\cdot0{,}06296\cdot9{,}81 \approx 617{,}6\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a água “puxa para cima” a pedra com cerca de 617{,}6\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular o peso da pedra no ar (força gravitacional sobre a pedra):
W=m g = 170 \times 9{,}81\\ \mathrm{N}.
Cálculo numérico:
W = 170\cdot9{,}81 = 1667{,}7\\ \mathrm{N}.

Passo 6

A força mínima que o homem precisa aplicar para começar a levantar a pedra é a diferença entre o peso e o empuxo (ou seja, o “peso aparente” da pedra na água). Assim:
F_{\text{necessária}} = W - F_b.á
Substituindo os valores já calculados:
F_{\text{necessária}} = 1667{,}7 - 617{,}6 = 1050{,}1\\ \mathrm{N}.á
Interpretação prática: o homem precisa exercer, para cima, uma força de aproximadamente 1050{,}1\\ \mathrm{N} só para neutralizar o peso líquido da pedra; para acelerar a pedra para cima precisaria aplicar um pouco mais. Converter para “kgf” (para entender melhor): 1050{,}1/9{,}81\approx107{,}1\\ \mathrm{kgf}. Ou seja, na água a pedra pesa como se fosse cerca de 107\\ \mathrm{kg} na gravidade terrestre.

Passo 7

Comentário sobre se ele consegue. Mesmo com o empuxo, a força necessária é grande: cerca de 1{,}05\times10^{3}\\ \mathrm{N} (≈ 107\\ \mathrm{kgf}). Para uma pessoa comum isso é muito pesado — levantar essa força de forma controlada é difícil; além disso, na prática há outras dificuldades: pegar firme na pedra no fundo lamacento, atrito/encalhe no sedimento, posição desconfortável de mergulho, respiração limitada, e necessidade de vencer a inércia inicial. Portanto, salvo se for um atleta muito forte e com técnica e equipamento adequados, é pouco provável que consiga.

Resposta

1{,}05\times10^{3}\\ \mathrm{N}
Provavelmente não — isso equivale a cerca de 107\\ \mathrm{kgf}, muito para uma pessoa comum sem equipamento.

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