Q 97 Calcule a equação da reta tangente à curva f(x)=2 sen(x^2+2 x)-3cos (x^2)+1 no ponto p=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
f(x) = 2,sinl(x^2 + 2xr) - 3cosl(x^2r) + 1
no ponto p=0. Para escrever essa reta precisamos de f(0) (o ponto) e de f'(0) (o coeficiente angular).

Passo 2

Calculando f(0):
sin(0^2 + 2cdot0)=sin(0)=0, logo o numerador é 2cdot0 - 3 = -3.
cos(0^2)+1=cos(0)+1=1+1=2.
Portanto
f(0) = -32,

Passo 3

Para f'(x) usamos a regra do quociente com
N(x) = 2,sinl(x^2+2xr) - 3 e D(x) = cosl(x^2r) + 1
Temos
N'(x) = 2cosl(x^2+2xr),l(2x+2r), D'(x) = -sinl(x^2r),2x
Então
f'(x) = N'(x),D(x) - N(x),D'(x)D(x)^2

Passo 4

Avaliaremos em x=0:
N'(0) = 2cos(0),(0+2) = 4, D(0)=2, N(0)=-3, D'(0)=0
Logo
f'(0) = 4cdot2 - (-3)cdot02^2 = 84 =2

Resposta

A reta tangente em p=0 é
y = 2x - tfrac32

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