Exercício 11 (D.L.6.25)
Mostre que o campo de vetores dado por
não possui órbitas periódicas.
Mostre que o campo de vetores dado por
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema planar autônomo
e pede para mostrar que ele não admite órbitas periódicas. Vamos usar o fato de que, se uma das coordenadas de uma solução é estritamente monótona em todo o tempo, não há como retornar ao ponto inicial e formar uma órbita fechada.
Passo 2
Observe que
para todo
, com igualdade somente se
e
. Logo, a coordenada
nunca diminui ao longo de uma solução.
Passo 3
Na única possibilidade de
, isto é, em um instante em que
, temos
de modo que a trajetória não pode “parar” nesse ponto: imediatamente
cresce e, com isso,
, fazendo
. Portanto, na prática,
é estritamente crescente em qualquer intervalo de tempo não trivial.
Passo 4
Como
é uma função estritamente crescente de
, não existe tempo
tal que
. Mas uma órbita periódica exigiria exatamente que, após um período
, a solução voltasse ao ponto inicial
. Isso é impossível, logo não há órbitas periódicas.
Resposta
O sistema não possui órbitas periódicas.