Exercício 11 (D.L.6.25)
Mostre que o campo de vetores dado por f(x1, x2)=(x1^2+x2^2,(1-x1)(1-x2)) não possui órbitas periódicas.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema planar autônomo
dot x1 = x1^2 + x2^2, dot x2 = (1 - x1)(1 - x2),
e pede para mostrar que ele não admite órbitas periódicas. Vamos usar o fato de que, se uma das coordenadas de uma solução é estritamente monótona em todo o tempo, não há como retornar ao ponto inicial e formar uma órbita fechada.

Passo 2

Observe que
dot x1(t) = x1(t)^2 + x2(t)^2 >= 0
para todo t, com igualdade somente se x1(t)=0 e x2(t)=0. Logo, a coordenada x1(t) nunca diminui ao longo de uma solução.

Passo 3

Na única possibilidade de dot x1=0, isto é, em um instante em que x1=x2=0, temos
dot x2=(1-0)(1-0)=1>0,
de modo que a trajetória não pode “parar” nesse ponto: imediatamente x2 cresce e, com isso, x1^2+x2^2>0, fazendo dot x1>0. Portanto, na prática, x1(t) é estritamente crescente em qualquer intervalo de tempo não trivial.

Passo 4

Como x1(t) é uma função estritamente crescente de t, não existe tempo T>0 tal que x1(T)=x1(0). Mas uma órbita periódica exigiria exatamente que, após um período T, a solução voltasse ao ponto inicial l(x1(0),x2(0)r). Isso é impossível, logo não há órbitas periódicas.

Resposta

O sistema não possui órbitas periódicas.

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