Exercício 12 (D.L.6.19)
Sejam f: E R^2 um campo de vetores e x in E um ponto. Mostre que se Lalpha(x)=gamma=Lomega(x) é uma órbita periódica de f, então x in gamma e a órbita de f por x é periódica.

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo de vetores f em EsubsetR^2 e um ponto xin E tal que
Lalpha(x)=gamma=Lomega(x),
onde gamma é uma órbita periódica de f. Aqui
  • Lomega(x) é o conjunto de pontos de acumulação de phi(t,x) quando tto+infty.
  • Lalpha(x) é o conjunto de pontos de acumulação de phi(t,x) quando tto-infty.
    Queremos mostrar que então xingamma e que a própria órbita de x é periódica. Vamos usar:
  1. numa planar, órbitas não se cruzam (unicidade de soluções);
  2. uma curva periódica simples gamma separa o plano em interior e exterior (Teorema do Jordan);
  3. o comportamento de atrator/repelidor em tempo direto/inverso.

Passo 2

Primeiro, note que gamma é uma curva fechada simples e invariante pelo fluxo phi. Pela unicidade, se existisse um instante t0 tal que phi(t0,x)ingamma, então toda a órbita de x coincidiria com gamma, forçando xingamma e a órbita de x a ser exatamente gamma, portanto periódica.

Passo 3

Suponha, para buscar contradição, que xnotingamma. Então x fica ou no interior de gamma ou no exterior, e como órbitas não se cruzam, phi(t,x) nunca atravessa gamma. Assim, todo phi(t,x) permanece em um mesmo componente de R^2setminusgamma.

Passo 4

Por hipótese temos
Lomega(x)=gamma,
isto é, gamma é o limite–conjunto quando tto+infty. Isso significa que gamma atrai a órbita de x em tempo direto (é um atrator para frente).
Por outro lado
Lalpha(x)=gamma
significa que em tempo inverso ( tto-infty) a órbita de x também se aproxima de gamma, logo gamma atrai em tempo inverso, ou seja, é um atrator para trás, o que equivale a dizer que gamma é um repelidor em tempo direto.
Mas uma mesma órbita periódica não pode ser simultaneamente atratora e repelidora no mesmo sentido de tempo. Isso é contraditório.

Passo 5

A única forma de evitar essa contradição é ter xingamma. E aí, como todo ponto de uma órbita periódica percorre exatamente essa órbita, segue que a órbita de x é periódica e coincide com gamma.

Resposta

xingamma e a órbita de x é periódica.

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