Exercício 12 (D.L.6.19)
Sejam
um campo de vetores e
um ponto. Mostre que se
é uma órbita periódica de
, então
e a órbita de
por
é periódica.
Sejam
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo de vetores
em
e um ponto
tal que
,
onde é uma órbita periódica de
. Aqui
onde
-
é o conjunto de pontos de acumulação de quando . -
é o conjunto de pontos de acumulação de quando .
Queremos mostrar que entãoe que a própria órbita de é periódica. Vamos usar:
- numa planar, órbitas não se cruzam (unicidade de soluções);
- uma curva periódica simples
separa o plano em interior e exterior (Teorema do Jordan); - o comportamento de atrator/repelidor em tempo direto/inverso.
Passo 2
Primeiro, note que
é uma curva fechada simples e invariante pelo fluxo
. Pela unicidade, se existisse um instante
tal que
, então toda a órbita de
coincidiria com
, forçando
e a órbita de
a ser exatamente
, portanto periódica.
Passo 3
Suponha, para buscar contradição, que
. Então
fica ou no interior de
ou no exterior, e como órbitas não se cruzam,
nunca atravessa
. Assim, todo
permanece em um mesmo componente de
.
Passo 4
Por hipótese temos
,
isto é, é o limite–conjunto quando
. Isso significa que
atrai a órbita de
em tempo direto (é um atrator para frente).
Por outro lado
significa que em tempo inverso ( ) a órbita de
também se aproxima de
, logo
atrai em tempo inverso, ou seja, é um atrator para trás, o que equivale a dizer que
é um repelidor em tempo direto.
Mas uma mesma órbita periódica não pode ser simultaneamente atratora e repelidora no mesmo sentido de tempo. Isso é contraditório.
isto é,
Por outro lado
significa que em tempo inverso (
Mas uma mesma órbita periódica não pode ser simultaneamente atratora e repelidora no mesmo sentido de tempo. Isso é contraditório.
Passo 5
A única forma de evitar essa contradição é ter
. E aí, como todo ponto de uma órbita periódica percorre exatamente essa órbita, segue que a órbita de
é periódica e coincide com
.