6-97 Um inventor alega ter desenvolvido um sistema de refrigeração que remove calor de um espaço fechado a -12^{\circ} \mathrm{C} e o transfere para o ar vizinho a 25^{\circ} \mathrm{C} enquanto mantém um COP de 6,5. Isso é válido? Por quê?
Refrigerante-134a entra no condensador de uma bomba de calor residencial a \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} e 40^{\circ} \mathrm{C} como vapor superaquecido a uma vazão mássica \dot{m} e sai a \mathrm{P}_{\mathrm{c} 2}=\mathrm{P}_{\mathrm{c} 1} como líquido saturado. Considerando que o compressor consome 1,2 \mathrm{~kW} de energia, determine (a) o COP da bomba de calor e (b) a taxa de remoção de calor do ar externo.
Considere
\begin{aligned} & \dot{m}=\left(\mathrm{M}_{2} * 0,01+\mathrm{M}_{1} * 0,001+0,018\right) \mathrm{kg} / \mathrm{s} \\\ & \mathrm{P}_{\mathrm{cl}}=\left(\mathrm{M}_{1} * 10+\mathrm{M}_{0}+800\right) \mathrm{kPa} \end{aligned}
Em que \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{0} são respectivamente o antepenúltimo, o penúltimo e o último dígitos do seu número de matrícula \left(\mathrm{MA}=\mathrm{M}_{5} \mathrm{M}_{4} \mathrm{M}_{3} \mathbf{M}_{2} \mathbf{M}_{1} \mathbf{M}_{0}\right)

Passo 1

O enunciado dá dois blocos de informação e faz perguntas diferentes; vou listar tudo claramente.
Dados do primeiro trecho (afirmação do inventor):
  • Espaço frio: temperatura -12^\circ\mathrm{C}.
  • Ar vizinho (ambiente quente): temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
  • Inventor alega que sua máquina remove calor do espaço a -12^\circ\mathrm{C} e o transfere para o ar a 25^\circ\mathrm{C} mantendo um COP de 6{,}5.
    Pergunta 1: Isso é válido? Por quê?
Dados do ciclo com R-134a (segunda parte do enunciado):
  • Refrigerante entra no condensador como vapor superaquecido a 40^\circ\mathrm{C} e pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}}.
  • Sai do condensador como líquido saturado à mesma pressão \mathrm{P}_{\mathrm{c}2}=\mathrm{P}_{\mathrm{c}1}=\mathrm{P}_{\mathrm{cl}}.
  • Compressor consome 1{,}2\\ \mathrm{kW}.
  • A vazão mássica é dada por
\dot{m}=\left(\mathrm{M}_{2}\cdot 0{,}01+\mathrm{M}_{1}\cdot 0{,}001+0{,}018\right)\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s},
onde \mathrm{M}_2,\mathrm{M}_1,\mathrm{M}_0 são dígitos da matrícula.
  • A pressão do condensador é dada por
\mathrm{P}_{\mathrm{cl}}=\left(\mathrm{M}_{1}\cdot 10+\mathrm{M}_{0}+800\right)\\ \mathrm{kPa}.
Perguntas da segunda parte:
(a) Determinar o COP da bomba de calor (modo aquecimento) para o ciclo descrito.
(b) Determinar a taxa de remoção de calor do ar externo (isto é, a potência térmica rejeitada pelo condensador).
Observações importantes:
  • O enunciado envolve propriedades termodinâmicas do R-134a (entalpias nas condições citadas). Para obter valores numéricos é necessário consultar tabelas/softwares de propriedades do R-134a. As fórmulas e relações que eu vou deduzir são válidas em geral; se você quiser eu posso depois calcular numericamente se você fornecer os dígitos \mathrm{M}_2,\mathrm{M}_1,\mathrm{M}_0 ou se me autorizar a usar valores tabulados típicos.
  • Não vou pedir informações adicionais; portanto deixarei as respostas finais em forma analítica (expressões com as entalpias e com \mathrm{M}_i) e explicarei passo a passo como obter os números usando tabelas.

Passo 2

Primeiro vou responder a Pergunta 1 (inventor) com fundamento termodinâmico (Carnot) — passo a passo.
Conceito-chave (mini-aula): o segundo princípio limita o COP máximo de um refrigerador reversível entre duas temperaturas de reservatórios. Para um refrigerador (modo de remoção de calor do frio) o COP reversível de Carnot é
\mathrm{COP}_{R,\mathrm{Carnot}}=\frac{T_c}{T_h-T_c},
onde T_c e T_h são as temperaturas absolutas (Kelvin) do reservatório frio e quente, respectivamente. Para um aparelho real o COP sempre será menor ou igual a esse valor.
Aplicando ao caso do inventor:
  • Converter para Kelvin:
T_c = -12^\circ\mathrm{C}=261{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_h=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o COP de Carnot (refrigerador):
\mathrm{COP}_{R,\mathrm{Carnot}}=\frac{261{,}15}{298{,}15-261{,}15}=\frac{261{,}15}{37}=7{,}06\\ (\text{aprox.}).
Conclusão lógica:
  • O COP máximo ideal (Carnot) para retirar calor a -12^\circ\mathrm{C} e rejeitar a 25^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 7{,}06.
  • O inventor alega COP 6{,}5, que é menor que 7{,}06, portanto a alegação não viola o limite termodinâmico de Carnot. Em outras palavras: teoricamente é possível (segundo a Segunda Lei) ter 6{,}5 porque está abaixo do ideal máximo, embora seja um valor elevado e exigiria um projeto muito eficiente na prática.
Comentário motivacional: isso não garante que exista um aparelho real com esse COP (há perdas irreversíveis, efeitos reais), mas não há proibição termodinâmica. Vamos agora ao ciclo com R-134a.

Passo 3

Vou modelar o ciclo e definir os estados com as variáveis termodinâmicas que usarei; depois mostro as relações de energia e a definição do COP da bomba de calor.
Definição dos estados (convenção usual vapor-compression):
  • Estado 1: entrada do compressor — vapor saturado (ou vapor úmido seco) à pressão de evaporação correspondente a T_{evap}=-12^\circ\mathrm{C}. Entalpia h_1.
  • Estado 2: saída do compressor / entrada do condensador — vapor superaquecido à pressão do condensador \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} e temperatura 40^\circ\mathrm{C}. Entalpia h_2.
  • Estado 3: saída do condensador — líquido saturado à mesma pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}}. Entalpia h_3.
  • Estado 4: após válvula de expansão (não precisamos do detalhe aqui), retorna ao evaporador e evapora até o estado 1.
Observações didáticas:
  • As entalpias h_1,h_2,h_3 são propriedades específicas do refrigerante nas condições indicadas; consultam-se tabelas de R-134a: tabela de saturação para T=-12^\circ\mathrm{C} (para h_1), tabela de líquido saturado à pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} (para h_3) e tabela de vapor superaquecido a \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} e 40^\circ\mathrm{C} (para h_2).
Energia no compressor (primeira lei, regime estacionário e desprezando variação de energia cinética/potencial):
  • Potência de entrada do compressor:
\dot{W}_{in}=\dot{m}(h_2-h_1).
O enunciado fornece \dot{W}_{in}=1{,}2\\ \mathrm{kW}.
Taxa de calor rejeitado no condensador (potência térmica fornecida ao ar externo):
\dot{Q}_{out}=\dot{m}(h_2-h_3).
Definição do COP da bomba de calor (modo aquecimento):
  • Para uma bomba de calor que fornece calor ao ambiente (condensador), o coeficiente de performance é
\mathrm{COP}_{HP}=\frac{\dot{Q}_{out}}{\dot{W}_{in}}.
Substituindo as expressões em termos das entalpias:
\mathrm{COP}_{HP}=\frac{\dot{m}(h_2-h_3)}{\dot{m}(h_2-h_1)}=\frac{h_2-h_3}{h_2-h_1}.
Observação importante: este resultado mostra que o COP depende apenas das entalpias (estado do refrigerante), não diretamente de \dot{m} nem de \dot{W}_{in} (contanto que \dot{W}_{in} e \dot{m} sejam consistentes com \dot{W}_{in}=\dot{m}(h_2-h_1)).
Relações úteis finais que vamos utilizar para calcular numericamente:
  • \mathrm{COP}_{HP}=\dfrac{h_2-h_3}{h_2-h_1}.
  • \dot{Q}_{out}=\dot{m}(h_2-h_3).
  • Ou, usando \dot{W}_{in} conhecido, \dot{Q}_{out}=\dot{W}_{in}\cdot\mathrm{COP}_{HP} (ou seja \dot{Q}_{out}=1{,}2\\ \mathrm{kW}\times\mathrm{COP}_{HP}).

Passo 4

Agora ensino como obter numericamente h_1,h_2,h_3 a partir das tabelas de propriedades do R-134a — procedimento passo a passo, com dicas de interpolação se necessário.
  1. Estado 1 — entalpia h_1:
  • Estado 1 é vapor saturado a T_{evap}=-12^\circ\mathrm{C}. Nas tabelas de saturação do R-134a procure a linha T=-12^\circ\mathrm{C} e leia h_g (entalpia específica do vapor saturado). Esse valor é h_1.
  • Se a tabela estiver organizada por pressão em vez de temperatura, encontre a pressão de saturação correspondente a -12^\circ\mathrm{C} (ou use a tabela direta) e leia h_g.
  1. Estado 3 — entalpia h_3:
  • Estado 3 é líquido saturado à pressão do condensador \mathrm{P}_{\mathrm{cl}}. Primeiro calcule numericamen-te \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} usando a fórmula dada:
\mathrm{P}_{\mathrm{cl}}=\left(\mathrm{M}_{1}\cdot 10+\mathrm{M}_{0}+800\right)\\ \mathrm{kPa}.
  • Na tabela de saturação consulte a linha correspondente à pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} (ou à temperatura de saturação equivalente). Leia h_f (entalpia do líquido saturado) nessa pressão; esse é h_3.
  • Se a pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} não coincidir exatamente com uma linha da tabela, faça interpolação linear entre as duas linhas de pressão mais próximas (procedimento padrão).
  1. Estado 2 — entalpia h_2:
  • Estado 2 é vapor superaquecido a pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} e temperatura 40^\circ\mathrm{C}. Nas tabelas de vapor superaquecido localize a tabela correspondente à pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} e a linha (ou a entrada) para T=40^\circ\mathrm{C} e leia h. Esse é h_2.
  • Se a tabela de superaquecido não tiver exatamente a pressão, faça interpolação entre as tabelas para as duas pressões vizinhas.
Dica de interpolação (breve mini-aula):
  • Se tiver valores (P_1,h_{2,1}) e (P_2,h_{2,2}) e precisa de h_2 em P entre P_1 e P_2, use interpolação linear:
h_2 = h_{2,1} + (h_{2,2}-h_{2,1})\frac{P-P_1}{P_2-P_1}.
  • Mesma ideia para interpolar em temperatura se a tabela for por temperaturas.

Passo 5

Determinação prática do COP e da taxa de calor rejeitado, expressões finais e como calcular com os dados da matrícula.
Resumo das fórmulas já obtidas:
\mathrm{COP}_{HP}=\frac{h_2-h_3}{h_2-h_1}, \qquad \dot{Q}_{out}=\dot{m}(h_2-h_3).
Mas também, usando \dot{W}_{in}=1{,}2\\ \mathrm{kW} e \dot{W}_{in}=\dot{m}(h_2-h_1), pode-se escrever
\dot{Q}_{out}=\dot{W}_{in}\cdot\mathrm{COP}_{HP}=1{,}2\\ \mathrm{kW}\cdot\mathrm{COP}_{HP}.
Procedimento de cálculo numérico (resumido — siga estes passos com as tabelas):
  1. Calcule \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} com \mathrm{M}_1,\mathrm{M}_0 usando a fórmula dada.
  2. Obtenha h_3=h_f na pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} (tabela de saturação).
  3. Obtenha h_2 na tabela de superaquecido para pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} e T=40^\circ\mathrm{C}.
  4. Obtenha h_1=h_g na temperatura -12^\circ\mathrm{C} (tabela de saturação).
  5. Calcule \mathrm{COP}_{HP}=(h_2-h_3)/(h_2-h_1).
  6. Calcule \dot{Q}_{out}=1{,}2\\ \mathrm{kW}\times\mathrm{COP}_{HP} (ou use \dot{m} e \dot{Q}_{out}=\dot{m}(h_2-h_3), lembrando de avaliar \dot{m} pela fórmula com \mathrm{M}_2,\mathrm{M}_1).
Observação sobre \dot{m}:
  • A fórmula dada para \dot{m} envolve \mathrm{M}_2 e \mathrm{M}_1. Se você usar o \dot{m} fornecido, verifique consistência: com esse \dot{m} e com as entalpias calculadas, a potência do compressor deve ser \dot{m}(h_2-h_1). Se isso não for igual a 1{,}2\\ \mathrm{kW} há inconsistência entre os dados da matrícula e o consumo informado — nesse caso a maneira segura é usar \dot{W}_{in}=1{,}2\\ \mathrm{kW} e calcular \dot{Q}_{out}=1{,}2\\ \mathrm{kW}\cdot\mathrm{COP}_{HP}. Alternativamente, pode-se usar a igualdade para encontrar \dot{m}=1{,}2/(\,h_2-h_1\,) e comparar com a fórmula da matrícula.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar o fluxo de trabalho — NÃO são números do enunciado porque não tenho os dígitos \mathrm{M}_i nem as tabelas aqui):
  • Suponha que, consultando tabelas, você encontrou h_1=390\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}, h_2=430\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}, h_3=250\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} (estes são exemplos fictícios só para ver como operar).
  • Então \mathrm{COP}_{HP}=(430-250)/(430-390)=180/40=4{,}5.
  • \dot{Q}_{out}=1{,}2\\ \mathrm{kW}\times 4{,}5=5{,}4\\ \mathrm{kW}.
    Isto ilustra a aplicação direta das fórmulas.

Resposta

O inventor: Válido em princípio — o \mathrm{COP} máximo de Carnot para -12^\circ\mathrm{C}\to25^\circ\mathrm{C} é \mathrm{COP}_{R,\mathrm{Carnot}}\approx 7{,}06, e 6{,}5<7{,}06, portanto não viola a Segunda Lei.
(a) \displaystyle \mathrm{COP}_{HP}=\frac{h_2-h_3}{h_2-h_1}, onde h_1 é a entalpia do vapor saturado a -12^\circ\mathrm{C}, h_2 é a entalpia do vapor superaquecido a \mathrm{P}_{\mathrm{cl}} e 40^\circ\mathrm{C}, e h_3 é a entalpia do líquido saturado à pressão \mathrm{P}_{\mathrm{cl}}.
(b) \displaystyle \dot{Q}_{out}=\dot{m}(h_2-h_3)=1{,}2\\ \mathrm{kW}\times\mathrm{COP}_{HP}, com \displaystyle \dot{m}=\left(\mathrm{M}_{2}\cdot 0{,}01+\mathrm{M}_{1}\cdot 0{,}001+0{,}018\right)\\ \mathrm{kg/s} e \displaystyle \mathrm{P}_{\mathrm{cl}}=\left(\mathrm{M}_{1}\cdot 10+\mathrm{M}_{0}+800\right)\\ \mathrm{kPa}.

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