Um disco de raio a pertence ao plano x y, com o eixo z passando pelo seu centro. Uma carga superficial de densidade uniforme \rho_{s} está presente no disco, que gira em volta do eixo z em uma velocidade angular de \Omega \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Calcule \mathbf{H} em todos os pontos no eixo z.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Um disco de raio \,a\, está no plano xy (logo seu centro está em z=0).
  • Há uma densidade superficial de carga uniforme \,\rho_{s} (unidade \mathrm{C/m^{2}}) sobre esse disco.
  • O disco gira em torno do eixo z com velocidade angular \,\Omega (rad/s).
  • Precisamos calcular \mathbf{H} em todos os pontos do eixo z (ou seja, para todo z\in\mathbb{R}).
Informações importantes extraídas do enunciado (lista):
  • O disco está centrado em z=0 e ocupa 0\le r\le a no plano z=0 (usando coordenadas cilíndricas r,\varphi,z).
  • A rotação produz uma corrente superficial (carga em movimento).
  • A busca é por \mathbf{H} no eixo; por simetria o campo só terá componente axial (direção \hat{z}).

Passo 2

Transformar a carga superficial em corrente superficial: fórmula e explicação física.
  • Cada ponto do disco, a distância r do eixo, move-se com velocidade tangencial \,v=\Omega r\, no sentido \hat{\varphi}.
  • A densidade superficial de corrente \mathbf{K} (unidade \mathrm{A/m}) é dada por carga por área vezes velocidade:
\mathbf{K}(r)=\rho_{s}\, \mathbf{v}=\rho_{s}\,\Omega r\,\hat{\varphi}.
Explicação: \rho_{s} (C/m ^2) multiplicado por v (m/s) dá C/(m·s) = A/m, que é a corrente por unidade de comprimento ao longo da direção tangencial — a definição de \mathbf{K}.
Forma alternativa, útil para integração:
  • Considere um anel de raio r e espessura radial dr. A carga nesse anel é
dq=\rho_{s}\cdot(2\pi r\,dr).
  • Essa carga completa uma volta em um período T=2\pi/\Omega, então a corrente do anel é
dI=\frac{dq}{T}=\rho_{s}\Omega r\,dr.
Essa expressão é a que usaremos para somar (integrar) o efeito de todos os anéis do disco.

Passo 3

Campo axial de um anel de corrente: fórmula conhecida e significado das variáveis.
  • Para um anel de raio r no plano z=0 que transporta corrente I, o campo magnético no eixo, no ponto a distância z do plano do anel, tem componente axial (no mesmo sentido \hat{z}) dado por:
B_z(z)=\frac{\mu_0 I r^{2}}{2\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.
Aqui \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0\approx 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}), I é a corrente do anel, r é o raio do anel e z a distância axial até o ponto onde se calcula o campo. Essa expressão vem diretamente da lei de Biot–Savart aplicada ao anel; para economia do tempo usamos a fórmula conhecida mas a sua origem é o cálculo da contribuição diferencial d\mathbf{B} de cada elemento de corrente e a integração ao longo do anel.

Passo 4

Expressão diferencial do campo gerado por um anel infinitesimal do disco e estabelecimento da integral.
  • Para o anel de raio r e espessura dr temos dI=\rho_{s}\Omega r\,dr (do Passo 2).
  • A contribuição diferencial ao campo axial em z é
dB_z(z)=\frac{\mu_0\,dI\, r^{2}}{2\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{\mu_0\,\rho_{s}\,\Omega\,r^{3}\,dr}{2\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.
  • O campo total no eixo é a soma (integral) dessas contribuições para r de 0 a a:
B_z(z)=\frac{\mu_0\,\rho_{s}\,\Omega}{2}\int_{0}^{a}\frac{r^{3}\,dr}{\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Cálculo da integral passo a passo (substituição e primitiva).
  • Façamos a substituição u=r^{2}+z^{2}. Então du=2r\,dr, isto é r\,dr=\tfrac{1}{2}du.
  • Reescrevendo o integrando:
\frac{r^{3}\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}} = \frac{r^{2}\cdot r\,dr}{u^{3/2}}=\frac{(u-z^{2})}{u^{3/2}}\cdot\frac{du}{2}.
  • Assim a integral torna-se
\int_{0}^{a}\frac{r^{3}\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}} =\frac{1}{2}\int_{u(0)}^{u(a)}\left(u^{-1/2}-z^{2}u^{-3/2}\right)du,
onde u(0)=0^{2}+z^{2}=z^{2} e u(a)=a^{2}+z^{2}.
  • Integramos termo a termo:
\frac{1}{2}\Bigl[ 2u^{1/2} + 2z^{2}u^{-1/2}\Bigr]_{u=z^{2}}^{u=a^{2}+z^{2}} = \Bigl[\sqrt{u} + \frac{z^{2}}{\sqrt{u}}\Bigr]_{u=z^{2}}^{u=a^{2}+z^{2}}.
  • Avaliando nos limites:
\int_{0}^{a}\frac{r^{3}\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}} = \sqrt{a^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}} -\Bigl(|z|+\frac{z^{2}}{|z|}\Bigr).
Observação sobre |z|: quando z\neq0, \sqrt{z^{2}}=|z|. No caso z=0 a segunda termo no limite inferior deve ser tratado por limite; o resultado final será contínuo em z=0.

Passo 6

Simplificação da expressão e relação entre \mathbf{B} e \mathbf{H}.
  • Substituindo a integral em B_z obtemos
B_z(z)=\frac{\mu_0\,\rho_{s}\,\Omega}{2}\Biggl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}-|z|-\frac{z^{2}}{|z|}\Biggr).
  • Para escrever numa forma mais elegante note a identidade (válida para z real):
\sqrt{a^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}-2|z| =\frac{\bigl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-|z|\bigr)^{2}}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}.
Assim, usando que |z|+z^{2}/|z|=2|z| para z\neq0 (e interpretando por continuidade em z=0), temos
B_z(z)=\frac{\mu_0\,\rho_{s}\,\Omega}{2}\cdot\frac{\bigl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-|z|\bigr)^{2}}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}.
  • Em vácuo a relação entre \mathbf{B} e \mathbf{H} é \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}. Portanto
\mathbf{H}(z)=\hat{z}\,\frac{B_z(z)}{\mu_0} =\hat{z}\,\frac{\rho_{s}\,\Omega}{2}\cdot\frac{\bigl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-|z|\bigr)^{2}}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}.
  • Direção/ sentido: para \rho_{s}>0 e \Omega>0 o campo aponta em \hat{z} (use a regra da mão direita para corrente no sentido \hat{\varphi}). Se \Omega mudar de sinal, o sentido do campo inverte (a expressão acima já incorpora isso através do sinal de \Omega).

Passo 7

Checagens e limites físicos (para ganhar confiança na fórmula).
  • No centro do disco z=0: \sqrt{a^{2}+0}=a e |z|=0, então
H_z(0)=\frac{\rho_{s}\,\Omega}{2}\cdot\frac{(a-0)^{2}}{a}=\frac{\rho_{s}\,\Omega\,a}{2},
o que é um resultado simples e tem unidade correta \mathrm{A/m}.
  • Para |z|\gg a (campo distante) faça a expansão \sqrt{a^{2}+z^{2}}\approx|z|+\dfrac{a^{2}}{2|z|}. Então
\bigl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-|z|\bigr)^{2}\approx\frac{a^{4}}{4|z|^{2}},
e
H_z(z)\approx\frac{\rho_{s}\,\Omega}{2}\frac{a^{4}}{4|z|^{3}} =\frac{\rho_{s}\,\Omega\,a^{4}}{8|z|^{3}},
ou seja, decai como 1/|z|^{3}, compatível com comportamento dipolar à distância (coerente com uma distribuição angularmente simétrica de correntes).

Passo 8

Resumo final e indicação prática de uso:
  • A expressão encontrada é válida para qualquer z\in\mathbb{R}.
  • Para obter \mathbf{H} basta usar a fórmula final abaixo; se necessário \mathbf{B} obtém-se multiplicando por \mu_0.

Resposta

\mathbf{H}(z)=\hat{z}\,\frac{\rho_{s}\,\Omega}{2}\,\frac{\bigl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-|z|\bigr)^{2}}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}.

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