Um disco de raio
pertence ao plano
, com o eixo
passando pelo seu centro. Uma carga superficial de densidade uniforme
está presente no disco, que gira em volta do eixo
em uma velocidade angular de
. Calcule
em todos os pontos no eixo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Um disco de raio
está no plano (logo seu centro está em ). - Há uma densidade superficial de carga uniforme
(unidade ) sobre esse disco. - O disco gira em torno do eixo
com velocidade angular (rad/s). - Precisamos calcular
em todos os pontos do eixo (ou seja, para todo ).
Informações importantes extraídas do enunciado (lista):
- O disco está centrado em
e ocupa no plano (usando coordenadas cilíndricas ). - A rotação produz uma corrente superficial (carga em movimento).
- A busca é por
no eixo; por simetria o campo só terá componente axial (direção ).
Passo 2
Transformar a carga superficial em corrente superficial: fórmula e explicação física.
- Cada ponto do disco, a distância
do eixo, move-se com velocidade tangencial no sentido . - A densidade superficial de corrente
(unidade ) é dada por carga por área vezes velocidade:
Explicação:
(C/m
) multiplicado por
(m/s) dá C/(m·s) = A/m, que é a corrente por unidade de comprimento ao longo da direção tangencial — a definição de
.
Forma alternativa, útil para integração:
- Considere um anel de raio
e espessura radial . A carga nesse anel é
- Essa carga completa uma volta em um período
, então a corrente do anel é
Essa expressão é a que usaremos para somar (integrar) o efeito de todos os anéis do disco.
Passo 3
Campo axial de um anel de corrente: fórmula conhecida e significado das variáveis.
- Para um anel de raio
no plano que transporta corrente , o campo magnético no eixo, no ponto a distância do plano do anel, tem componente axial (no mesmo sentido ) dado por:
Aqui
é a permeabilidade do vácuo (
),
é a corrente do anel,
é o raio do anel e
a distância axial até o ponto onde se calcula o campo. Essa expressão vem diretamente da lei de Biot–Savart aplicada ao anel; para economia do tempo usamos a fórmula conhecida mas a sua origem é o cálculo da contribuição diferencial
de cada elemento de corrente e a integração ao longo do anel.
Passo 4
Expressão diferencial do campo gerado por um anel infinitesimal do disco e estabelecimento da integral.
- Para o anel de raio
e espessura temos (do Passo 2). - A contribuição diferencial ao campo axial em
é
- O campo total no eixo é a soma (integral) dessas contribuições para
de a :
Passo 5
Cálculo da integral passo a passo (substituição e primitiva).
- Façamos a substituição
. Então , isto é . - Reescrevendo o integrando:
- Assim a integral torna-se
onde
e
.
- Integramos termo a termo:
- Avaliando nos limites:
Observação sobre
: quando
,
. No caso
a segunda termo no limite inferior deve ser tratado por limite; o resultado final será contínuo em
.
Passo 6
Simplificação da expressão e relação entre
e
.
- Substituindo a integral em
obtemos
- Para escrever numa forma mais elegante note a identidade (válida para
real):
Assim, usando que
para
(e interpretando por continuidade em
), temos
- Em vácuo a relação entre
e é . Portanto
- Direção/ sentido: para
e o campo aponta em (use a regra da mão direita para corrente no sentido ). Se mudar de sinal, o sentido do campo inverte (a expressão acima já incorpora isso através do sinal de ).
Passo 7
Checagens e limites físicos (para ganhar confiança na fórmula).
- No centro do disco
: e , então
o que é um resultado simples e tem unidade correta
.
- Para
(campo distante) faça a expansão . Então
e
ou seja, decai como
, compatível com comportamento dipolar à distância (coerente com uma distribuição angularmente simétrica de correntes).
Passo 8
Resumo final e indicação prática de uso:
- A expressão encontrada é válida para qualquer
. - Para obter
basta usar a fórmula final abaixo; se necessário obtém-se multiplicando por .