Dois planetas, cada um deles com massa M e raio R, giram em círculos em torno um do outro, separados por uma distáncia a, sob a ação de sua atração gravitacional mútua. Determine a velocidade (relativa) mínima com que o foguete deve ser lançado de um planeta para chegar a outro. Mostre que a velocidade do foguete deve ser maior do que seria necessário se o movimento dos planetas fosse desprezado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras (vou listar tudo para a gente não se perder):
  • Dois planetas idênticos, cada um com massa \,M, e raio \,R, estão separados pela distância entre centros \,a,.
  • Os planetas descrevem órbitas circulares um em torno do outro (ou seja, ambos giram em torno do centro de massa comum).
  • Quer-se determinar a velocidade mínima (velocidade relativa ao planeta de lançamento) com a qual um foguete, lançado da superfície de um planeta, deve partir para atingir o outro planeta.
  • Pede também para mostrar que essa velocidade mínima, quando os planetas estão em movimento orbital, é maior do que a velocidade mínima no caso em que se despreza o movimento dos planetas (isto é, se os planetas ficassem fixos na posição separada por \,a,).
Informações relevantes que vamos usar (todas dadas ou implicadas pelo enunciado):
  • Massa de cada planeta: \,M,.
  • Raio de cada planeta: \,R,.
  • Distância entre centros: \,a,.
  • O foguete parte da superfície do planeta; portanto a sua posição inicial (medida a partir do centro de massa do sistema) será próxima de -a/2 + R se tomarmos o centro de massa como origem e os planetas sobre o eixo x.
  • O ponto crítico entre as duas poças gravitacionais (o ponto de “cruzamento” entre os potenciais, que na situação simétrica é o ponto médio entre os centros) será importante: sua abscissa é x=0 (meio do segmento que une os centros) e é a “barreira” que o foguete precisa superar para ir de um planeta ao outro.

Passo 2

Primeira coisa técnica: o movimento orbital dos planetas tem uma velocidade angular \omega que precisamos usar. Vamos calcular \omega e a velocidade orbital de cada planeta em torno do centro de massa.
Cada planeta descreve movimento circular a distância r_{\rm p}=a/2 do centro de massa. A força centrípeta em um planeta é fornecida pela gravitação do outro planeta:
M\omega^{2}\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{G M^{2}}{a^{2}}.
Isolando \omega^{2} obtemos
\omega^{2}=\frac{2 G M}{a^{3}}.
A velocidade escalar de cada planeta em torno do CM vale
v_{\rm orb}=\omega\frac{a}{2}=\sqrt{\frac{G M}{2a}}.
Observação rápida e útil: a existência dessa rotação implica que, no referencial que gira com os planetas (referencial corrotante), as posições dos dois planetas são fixas e surge uma “potencial efetivo” que combina gravitação e força centrífuga. É nesse referencial que existe uma quantidade conservada (o integrale de Jacobi) que nos permite achar a velocidade mínima necessária para atravessar do poço gravitacional de um planeta para o outro.

Passo 3

Vamos agora introduzir a ideia de potencial efetivo no referencial corrotante e o princípio que usamos para achar a velocidade mínima.
  • Potencial gravitacional (por unidade de massa) devido aos dois planetas, em um ponto com distâncias r_1 e r_2 aos centros dos planetas:
\Phi_{\rm grav}(\mathbf r)=-\frac{G M}{r_1}-\frac{G M}{r_2}.
  • Potencial centrífugo (por unidade de massa) no referencial que gira com velocidade angular \omega:
\Phi_{\rm cf}(\mathbf r)=-\frac{1}{2}\,\omega^{2} r^{2},
onde r é a distância desse ponto ao centro de rotação (aqui o centro de massa do par de planetas).
Definimos o potencial efetivo (por unidade de massa) no referencial corrotante por
\Phi_{\rm eff}(\mathbf r)=\Phi_{\rm grav}(\mathbf r)+\Phi_{\rm cf}(\mathbf r) =-\frac{G M}{r_1}-\frac{G M}{r_2}-\frac{1}{2}\omega^{2}r^{2}.
No problema restrito de três corpos (massa do foguete desprezível), existe uma quantidade conservada na forma do integrale de Jacobi; para nós basta o seguinte resultado prático: o valor de
C= -2\,\Phi_{\rm eff} - v_{\rm rot}^{2}
é constante ao longo da trajetória se v_{\rm rot} é a velocidade do foguete no referencial corrotante. (A forma pode aparecer com sinais diferentes em livros, mas o que vamos usar é a consequência operacional: para o foguete atingir uma região onde \Phi_{\rm eff} tem certo valor, sua energia cinética no referencial corrotante deve ser pelo menos a diferença entre os potenciais.)
Assim, para que o foguete saia do poço gravitacional do planeta de partida e alcance o ponto de sela (o ponto intermediário entre os dois planetas, aqui x=0), é necessário que a sua energia cinética no referencial corrotante, na posição de lançamento, seja suficiente para vencer a diferença de \Phi_{\rm eff} entre o ponto de lançamento e o ponto de sela. A condição mínima (velocidade no momento do lançamento, medida no referencial corrotante) é então
\frac{1}{2}v_{\rm rot,min}^{2}=\Phi_{\rm eff}(x_{\rm sela})-\Phi_{\rm eff}(x_{\rm início}).í
Como os planetas são idênticos e simétricos, o ponto de sela entre eles é o ponto médio x=0. Nesse ponto a distância a cada planeta é a/2 e a distância ao centro de massa é zero, logo o termo centrífugo é nulo em x=0. Na superfície do planeta de partida (no eixo que une os centros), a distância ao centro de massa é r_{\rm i}=a/2-R.

Passo 4

Calcular \Phi_{\rm eff} nos dois pontos relevantes (ponto médio x=0 e ponto de lançamento na superfície do planeta).
  1. No ponto médio ( x=0):
  • distâncias a cada planeta: r_1=r_2=a/2.
  • termo centrífugo: r=0\Rightarrow zero.
    Portanto
\Phi_{\rm eff}(0)=-\frac{G M}{a/2}-\frac{G M}{a/2}=-\frac{4G M}{a}.
  1. Na superfície do planeta de partida (no eixo que liga os centros), as distâncias são:
  • distância ao centro do planeta de partida: r_1=R,
  • distância ao outro planeta: r_2=a-R,
  • distância ao centro de massa (para o termo centrífugo): r_{\rm i}=\frac{a}{2}-R.
Logo
\Phi_{\rm eff}(\text{início})=-\frac{G M}{R}-\frac{G M}{a-R}-\frac{1}{2}\omega^{2}\left(\frac{a}{2}-R\right)^{2}.í
Lembrando de \omega^{2}=\dfrac{2GM}{a^{3}}, podemos reescrever o último termo quando necessário.

Passo 5

A condição mínima (energia cinética no referencial corrotante) para que o foguete alcance o ponto médio é
\frac{1}{2}v_{\rm rot,min}^{2}=\Phi_{\rm eff}(0)-\Phi_{\rm eff}(\text{início}).í
Substituindo os valores encontrados:
\frac{1}{2}v_{\rm rot,min}^{2} = -\frac{4G M}{a} -\left(-\frac{G M}{R}-\frac{G M}{a-R}-\frac{1}{2}\omega^{2}\Big(\frac{a}{2}-R\Big)^{2}\right).
Simplificando:
\frac{1}{2}v_{\rm rot,min}^{2} =G M\!\left(-\frac{4}{a}+\frac{1}{R}+\frac{1}{a-R}\right)+\frac{1}{2}\,\omega^{2}\Big(\frac{a}{2}-R\Big)^{2}.
Multiplicando por 2 e substituindo \omega^{2}=\dfrac{2GM}{a^{3}} no último termo, obtemos a forma conveniente
v_{\rm rot,min}^{2} =2GM\!\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{a-R}-\frac{4}{a}\right)+\frac{2GM}{a^{3}}\Big(\frac{a}{2}-R\Big)^{2}.
Podemos separar a parte que corresponde ao caso em que os planetas são considerados fixos (estáticos) e o termo adicional devido à rotação. Se desprezarmos o movimento orbital (planetas fixos), a velocidade mínima necessária seria
v_{\rm estatico}^{2}=2GM\!\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{a-R}-\frac{4}{a}\right).
Comparando com o caso real, obtemos
v_{\rm rot,min}^{2}=v_{\rm estatico}^{2}+\frac{2GM}{a^{3}}\Big(\frac{a}{2}-R\Big)^{2}.
O termo adicional \dfrac{2GM}{a^{3}}\big(\dfrac{a}{2}-R\big)^{2} é estritamente positivo sempre que \dfrac{a}{2}\ne R (o que é o caso físico usual, já que os planetas não estão tocando). Portanto
v_{\rm rot,min}^{2}>v_{\rm estatico}^{2} \quad\Rightarrow\quad v_{\rm rot,min}>v_{\rm estatico}.
Interpretação física curta: o termo extra aparece por causa da força centrífuga no referencial corrotante — a superfície do planeta (ponto de partida) experimenta uma contribuição centrífuga negativa para o potencial efetivo que “aprofunda” o poço local em relação ao ponto médio, de modo que é necessária mais energia (logo maior velocidade relativa ao planeta) para atingir o ponto de sela entre os dois poços gravitacionais.

Passo 6

Reescrevendo a resposta final de forma limpa e destacando as fórmulas finais úteis:
  • Velocidade mínima relativa (no referencial do planeta, que coincide com o referencial corrotante porque o planeta é fixo nesse referencial) necessária para que o foguete alcance o ponto médio e, portanto, chegue ao outro planeta:
v_{\min}^{2} =2GM\!\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{a-R}-\frac{4}{a}\right)+\frac{2GM}{a^{3}}\Big(\frac{a}{2}-R\Big)^{2}.
  • Se os planetas fossem estáticos (movimento desprezado), a velocidade mínima necessária seria
v_{\text{estático}}^{2}=2GM\!\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{a-R}-\frac{4}{a}\right).á
  • Comparação:
v_{\min}^{2}=v_{\text{estático}}^{2}+\frac{2GM}{a^{3}}\Big(\frac{a}{2}-R\Big)^{2},á
logo
v_{\min}>v_{\text{estático}}.á

Resposta

v_{\min} =\sqrt{\,2GM\!\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{a-R}-\frac{4}{a}\right)+\frac{2GM}{a^{3}}\Big(\frac{a}{2}-R\Big)^{2}\,}
v_{\text{estático}} =\sqrt{\,2GM\!\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{a-R}-\frac{4}{a}\right)\,} \qquad\text{e}\qquad v_{\min}>v_{\text{estático}}.áá

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