Dois planetas, cada um deles com massa
e raio
, giram em círculos em torno um do outro, separados por uma distáncia
, sob a ação de sua atração gravitacional mútua. Determine a velocidade (relativa) mínima com que o foguete deve ser lançado de um planeta para chegar a outro. Mostre que a velocidade do foguete deve ser maior do que seria necessário se o movimento dos planetas fosse desprezado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras (vou listar tudo para a gente não se perder):
- Dois planetas idênticos, cada um com massa
, e raio , estão separados pela distância entre centros ,. - Os planetas descrevem órbitas circulares um em torno do outro (ou seja, ambos giram em torno do centro de massa comum).
- Quer-se determinar a velocidade mínima (velocidade relativa ao planeta de lançamento) com a qual um foguete, lançado da superfície de um planeta, deve partir para atingir o outro planeta.
- Pede também para mostrar que essa velocidade mínima, quando os planetas estão em movimento orbital, é maior do que a velocidade mínima no caso em que se despreza o movimento dos planetas (isto é, se os planetas ficassem fixos na posição separada por
,).
Informações relevantes que vamos usar (todas dadas ou implicadas pelo enunciado):
- Massa de cada planeta:
,. - Raio de cada planeta:
,. - Distância entre centros:
,. - O foguete parte da superfície do planeta; portanto a sua posição inicial (medida a partir do centro de massa do sistema) será próxima de
se tomarmos o centro de massa como origem e os planetas sobre o eixo . - O ponto crítico entre as duas poças gravitacionais (o ponto de “cruzamento” entre os potenciais, que na situação simétrica é o ponto médio entre os centros) será importante: sua abscissa é
(meio do segmento que une os centros) e é a “barreira” que o foguete precisa superar para ir de um planeta ao outro.
Passo 2
Primeira coisa técnica: o movimento orbital dos planetas tem uma velocidade angular
que precisamos usar. Vamos calcular
e a velocidade orbital de cada planeta em torno do centro de massa.
Cada planeta descreve movimento circular a distância
do centro de massa. A força centrípeta em um planeta é fornecida pela gravitação do outro planeta:
Isolando
obtemos
A velocidade escalar de cada planeta em torno do CM vale
Observação rápida e útil: a existência dessa rotação implica que, no referencial que gira com os planetas (referencial corrotante), as posições dos dois planetas são fixas e surge uma “potencial efetivo” que combina gravitação e força centrífuga. É nesse referencial que existe uma quantidade conservada (o integrale de Jacobi) que nos permite achar a velocidade mínima necessária para atravessar do poço gravitacional de um planeta para o outro.
Passo 3
Vamos agora introduzir a ideia de potencial efetivo no referencial corrotante e o princípio que usamos para achar a velocidade mínima.
- Potencial gravitacional (por unidade de massa) devido aos dois planetas, em um ponto com distâncias
e aos centros dos planetas:
- Potencial centrífugo (por unidade de massa) no referencial que gira com velocidade angular
:
onde
é a distância desse ponto ao centro de rotação (aqui o centro de massa do par de planetas).
Definimos o potencial efetivo (por unidade de massa) no referencial corrotante por
No problema restrito de três corpos (massa do foguete desprezível), existe uma quantidade conservada na forma do integrale de Jacobi; para nós basta o seguinte resultado prático: o valor de
é constante ao longo da trajetória se
é a velocidade do foguete no referencial corrotante. (A forma pode aparecer com sinais diferentes em livros, mas o que vamos usar é a consequência operacional: para o foguete atingir uma região onde
tem certo valor, sua energia cinética no referencial corrotante deve ser pelo menos a diferença entre os potenciais.)
Assim, para que o foguete saia do poço gravitacional do planeta de partida e alcance o ponto de sela (o ponto intermediário entre os dois planetas, aqui
), é necessário que a sua energia cinética no referencial corrotante, na posição de lançamento, seja suficiente para vencer a diferença de
entre o ponto de lançamento e o ponto de sela. A condição mínima (velocidade no momento do lançamento, medida no referencial corrotante) é então
Como os planetas são idênticos e simétricos, o ponto de sela entre eles é o ponto médio
. Nesse ponto a distância a cada planeta é
e a distância ao centro de massa é zero, logo o termo centrífugo é nulo em
. Na superfície do planeta de partida (no eixo que une os centros), a distância ao centro de massa é
.
Passo 4
Calcular
nos dois pontos relevantes (ponto médio
e ponto de lançamento na superfície do planeta).
- No ponto médio (
):
- distâncias a cada planeta:
. - termo centrífugo:
zero.
Portanto
- Na superfície do planeta de partida (no eixo que liga os centros), as distâncias são:
- distância ao centro do planeta de partida:
, - distância ao outro planeta:
, - distância ao centro de massa (para o termo centrífugo):
.
Logo
Lembrando de
, podemos reescrever o último termo quando necessário.
Passo 5
A condição mínima (energia cinética no referencial corrotante) para que o foguete alcance o ponto médio é
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Multiplicando por
e substituindo
no último termo, obtemos a forma conveniente
Podemos separar a parte que corresponde ao caso em que os planetas são considerados fixos (estáticos) e o termo adicional devido à rotação. Se desprezarmos o movimento orbital (planetas fixos), a velocidade mínima necessária seria
Comparando com o caso real, obtemos
O termo adicional
é estritamente positivo sempre que
(o que é o caso físico usual, já que os planetas não estão tocando). Portanto
Interpretação física curta: o termo extra aparece por causa da força centrífuga no referencial corrotante — a superfície do planeta (ponto de partida) experimenta uma contribuição centrífuga negativa para o potencial efetivo que “aprofunda” o poço local em relação ao ponto médio, de modo que é necessária mais energia (logo maior velocidade relativa ao planeta) para atingir o ponto de sela entre os dois poços gravitacionais.
Passo 6
Reescrevendo a resposta final de forma limpa e destacando as fórmulas finais úteis:
- Velocidade mínima relativa (no referencial do planeta, que coincide com o referencial corrotante porque o planeta é fixo nesse referencial) necessária para que o foguete alcance o ponto médio e, portanto, chegue ao outro planeta:
- Se os planetas fossem estáticos (movimento desprezado), a velocidade mínima necessária seria
- Comparação:
logo