(a) Prove que a energia cinética total de um sistema de partículas que constituem um corpo rígido, conforme foi definido pela Eq. (4.37), é dada corretamente pela Eq. (5.16), quando o corpo gira em torno de um eixo fixo. (b) Prove que a energia potencial dada pela Bq. (5.14) é o trabalho total realizado contra as forças externas, quando o corpo gira de \theta_{s} para \theta, se N_{z} for a soma dos torques em torno do eixo devido às forças externas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas (sem resolver nada ainda).
  • O enunciado pede duas provas:
    (a) Partindo da expressão da energia cinética total de um sistema de partículas T=\tfrac{1}{2}\sum_i m_i v_i^2(esta é a Eq. (4.37) mencionada), provar que, quando o corpo rígido gira em torno de um eixo fixo, a energia cinética total toma a forma T=\tfrac{1}{2}I\omega^2(esta é a Eq. (5.16) que se deseja obter). Aqui m_i é a massa da partícula i, v_i sua velocidade e I é o momento de inércia em relação ao eixo fixo.
  • (b) Provar que a energia potencial dada pela Eq. (5.14), U(\theta)=-\int_{\theta_s}^{\theta} N_z(\theta')\,d\theta'\qquad(\text{ou, em diferença, }U(\theta)-U(\theta_s)=-\int_{\theta_s}^{\theta} N_z(\theta')\,d\theta'),çé igual ao trabalho total realizado contra as forças externas quando o corpo gira de \theta_s para \theta, onde N_z é a soma dos torques (momentos) em torno do eixo devido às forças externas.
Informações relevantes que vou usar:
  • Para rotação rígida em torno de eixo fixo a velocidade de cada partícula i é a velocidade tangencial associada à rotação angular \omega.
  • O momento de inércia em relação ao eixo é definido por I=\sum_i m_i \rho_i^2, onde \rho_i é a distância perpendicular da partícula i ao eixo.
  • Trabalho infinitesimal realizado por uma força \mathbf{F}_i aplicada na partícula i é \delta W_i=\mathbf{F}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i.

Passo 2

Começo pela parte (a): expressar a velocidade de cada partícula em função da rotação angular.
  • Se o corpo gira com velocidade angular vetorial \boldsymbol\omega em torno de um eixo fixo, a posição da partícula i relativa ao eixo é \boldsymbol r_i e sua velocidade é dada pela fórmula da rotação rígida: \boldsymbol v_i=\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i.Explicando: \boldsymbol\omega é um vetor cuja direção é a do eixo de rotação (seguindo a regra da mão direita) e módulo \omega é a velocidade angular. O produto vetorial \boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i fornece a velocidade tangencial da partícula i.

Passo 3

Calcular o quadrado da velocidade v_i^2 usando identidades vetoriais.
  • Usando a identidade (\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)=a^2 b^2-(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2,com \boldsymbol a=\boldsymbol\omega e \boldsymbol b=\boldsymbol r_i, obtemos v_i^2=(\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i)\cdot(\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i) =\omega^2 r_i^2-(\boldsymbol\omega\cdot\boldsymbol r_i)^2.
  • Interpretação física: r_i^2-(\hat{\boldsymbol\omega}\cdot\boldsymbol r_i)^2 é o quadrado da distância perpendicular \rho_i^2 da partícula ao eixo. Se escolhemos \boldsymbol\omega=\omega\hat{\mathbf z} então \rho_i é a coordenada radial no plano perpendicular ao eixo e v_i^2=\omega^2\rho_i^2.(esta forma é mais direta: a velocidade tangencial é \omega\rho_i.)

Passo 4

Inserir v_i^2 na expressão da energia cinética e reconhecer o momento de inércia.
  • Partindo de T=\tfrac{1}{2}\sum_i m_i v_i^2 e substituindo v_i^2=\omega^2\rho_i^2 obtemos T=\tfrac{1}{2}\sum_i m_i (\omega^2\rho_i^2)=\tfrac{1}{2}\omega^2\sum_i m_i\rho_i^2.
  • Definindo o momento de inércia em relação ao eixo fixo por I=\sum_i m_i \rho_i^2,fica imediatamente T=\tfrac{1}{2}I\omega^2,que é exatamente a Eq. (5.16) pretendida.
Comentário didático rápido: assim mostramos que para rotação pura em torno de um eixo fixo não há termo de energia cinética de translação; toda a energia cinética é a energia de rotação \tfrac{1}{2}I\omega^2.

Passo 5

Agora a parte (b): relacionar trabalho infinitesimal das forças externas com o torque total N_z.
  • Considere uma rotação infinitesimal \mathrm{d}\theta em torno do eixo \hat{\mathbf z}. Num corpo rígido, o deslocamento da partícula i devido a essa rotação é \delta\boldsymbol r_i=\mathrm{d}\theta\,\hat{\mathbf z}\times\boldsymbol r_i.Explicando: para uma pequena rotação, cada ponto sofre uma pequena translação perpendicular ao plano do vetor posição; a expressão vem da linearização do movimento rotacional.

Passo 6

Calcular o trabalho infinitesimal realizado pela força externa \mathbf{F}_i aplicada na partícula i.
  • O trabalho infinitesimal feito pela força \boldsymbol F_i quando a partícula sofre \delta\boldsymbol r_i é \delta W_i=\boldsymbol F_i\cdot\delta\boldsymbol r_i =\boldsymbol F_i\cdot(\mathrm{d}\theta\,\hat{\mathbf z}\times\boldsymbol r_i).
  • Usando a identidade do produto escalar com produto vetorial (produto triplo escalar) \boldsymbol F_i\cdot(\hat{\mathbf z}\times\boldsymbol r_i)=\hat{\mathbf z}\cdot(\boldsymbol r_i\times\boldsymbol F_i),obtemos \delta W_i=\mathrm{d}\theta\,\hat{\mathbf z}\cdot(\boldsymbol r_i\times\boldsymbol F_i).
  • O escalar \hat{\mathbf z}\cdot(\boldsymbol r_i\times\boldsymbol F_i) é exatamente o componente do momento (torque) da força \boldsymbol F_i em torno do eixo z. Denotando esse componente por \tau_{i,z}, temos \delta W_i=\tau_{i,z}\,\mathrm{d}\theta.

Passo 7

Somar sobre todas as partículas e integrar para obter o trabalho total; então relacionar com a energia potencial.
  • Somando sobre todas as partículas a contribuição infinitesimal de trabalho, o trabalho infinitesimal total das forças externas é \delta W_{\text{ext}}=\sum_i \delta W_i=\sum_i \tau_{i,z}\,\mathrm{d}\theta = N_z\,\mathrm{d}\theta,onde N_z=\sum_i \tau_{i,z} é a soma dos torques externos em torno do eixo (isto é, o torque resultante).
  • Integrando desde \theta_s até \theta, o trabalho total realizado pelas forças externas é W_{\text{ext}}=\int_{\theta_s}^{\theta} N_z(\theta')\,\mathrm{d}\theta'.
  • O trabalho realizado contra as forças externas (isto é, o trabalho que deve ser fornecido para contrariar as forças externas) é o negativo desse valor: W_{\text{contra}}=-\int_{\theta_s}^{\theta} N_z(\theta')\,\mathrm{d}\theta'.
  • Definindo a energia potencial U(\theta) de modo que a variação \Delta U=U(\theta)-U(\theta_s) seja igual ao trabalho realizado contra as forças externas, obtemos U(\theta)-U(\theta_s)=-\int_{\theta_s}^{\theta} N_z(\theta')\,\mathrm{d}\theta'.Escolhendo a referência U(\theta_s)=0 recupera exatamente a forma U(\theta)=-\int_{\theta_s}^{\theta} N_z(\theta')\,\mathrm{d}\theta',que é a Eq. (5.14) anunciada.
Comentário sobre o sinal: é a mesma convenção usual de potenciais conservativos — a energia potencial aumenta quando se realiza trabalho contra as forças externas; o trabalho das próprias forças externas seria negativo dessa variação.

Passo 8

Resumo final em palavras (rápido e motivador):
  • (a) Para rotação em torno de um eixo fixo cada partícula tem velocidade tangencial v_i=\omega\rho_i; somando \tfrac{1}{2}m_i v_i^2 chega-se a \tfrac{1}{2}I\omega^2.
  • (b) Para uma pequena rotação \mathrm{d}\theta o deslocamento de cada partícula leva a um trabalho infinitesimal igual ao torque em torno do eixo vezes \mathrm{d}\theta; somando e integrando dá W_{\text{ext}}=\int N_z\,\mathrm{d}\theta. O trabalho contra as forças externas é o negativo disso, portanto a energia potencial pode ser escrita como -\int_{\theta_s}^{\theta} N_z\,\mathrm{d}\theta'.

Resposta

(a) T=\tfrac{1}{2}I\omega^2
(b) U(\theta)-U(\theta_s)=-\displaystyle\int_{\theta_s}^{\theta} N_z(\theta')\,\mathrm{d}\theta' (em particular, escolhendo U(\theta_s)=0, U(\theta)=-\displaystyle\int_{\theta_s}^{\theta} N_z(\theta')\,\mathrm{d}\theta').

Exercícios relacionados