(a) Prove que a energia cinética total de um sistema de partículas que constituem um corpo rígido, conforme foi definido pela Eq. (4.37), é dada corretamente pela Eq. (5.16), quando o corpo gira em torno de um eixo fixo. (b) Prove que a energia potencial dada pela Bq. (5.14) é o trabalho total realizado contra as forças externas, quando o corpo gira de
para
, se
for a soma dos torques em torno do eixo devido às forças externas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas (sem resolver nada ainda).
- O enunciado pede duas provas:
(a) Partindo da expressão da energia cinética total de um sistema de partículas(esta é a Eq. (4.37) mencionada), provar que, quando o corpo rígido gira em torno de um eixo fixo, a energia cinética total toma a forma (esta é a Eq. (5.16) que se deseja obter). Aqui é a massa da partícula , sua velocidade e é o momento de inércia em relação ao eixo fixo. - (b) Provar que a energia potencial dada pela Eq. (5.14),
é igual ao trabalho total realizado contra as forças externas quando o corpo gira de para , onde é a soma dos torques (momentos) em torno do eixo devido às forças externas.
Informações relevantes que vou usar:
- Para rotação rígida em torno de eixo fixo a velocidade de cada partícula
é a velocidade tangencial associada à rotação angular . - O momento de inércia em relação ao eixo é definido por
, onde é a distância perpendicular da partícula ao eixo. - Trabalho infinitesimal realizado por uma força
aplicada na partícula é .
Passo 2
Começo pela parte (a): expressar a velocidade de cada partícula em função da rotação angular.
- Se o corpo gira com velocidade angular vetorial
em torno de um eixo fixo, a posição da partícula relativa ao eixo é e sua velocidade é dada pela fórmula da rotação rígida: Explicando: é um vetor cuja direção é a do eixo de rotação (seguindo a regra da mão direita) e módulo é a velocidade angular. O produto vetorial fornece a velocidade tangencial da partícula .
Passo 3
Calcular o quadrado da velocidade
usando identidades vetoriais.
- Usando a identidade
com e , obtemos - Interpretação física:
é o quadrado da distância perpendicular da partícula ao eixo. Se escolhemos então é a coordenada radial no plano perpendicular ao eixo e (esta forma é mais direta: a velocidade tangencial é .)
Passo 4
Inserir
na expressão da energia cinética e reconhecer o momento de inércia.
- Partindo de
e substituindo obtemos - Definindo o momento de inércia em relação ao eixo fixo por
fica imediatamente que é exatamente a Eq. (5.16) pretendida.
Comentário didático rápido: assim mostramos que para rotação pura em torno de um eixo fixo não há termo de energia cinética de translação; toda a energia cinética é a energia de rotação
.
Passo 5
Agora a parte (b): relacionar trabalho infinitesimal das forças externas com o torque total
.
- Considere uma rotação infinitesimal
em torno do eixo . Num corpo rígido, o deslocamento da partícula devido a essa rotação é Explicando: para uma pequena rotação, cada ponto sofre uma pequena translação perpendicular ao plano do vetor posição; a expressão vem da linearização do movimento rotacional.
Passo 6
Calcular o trabalho infinitesimal realizado pela força externa
aplicada na partícula
.
- O trabalho infinitesimal feito pela força
quando a partícula sofre é - Usando a identidade do produto escalar com produto vetorial (produto triplo escalar)
obtemos - O escalar
é exatamente o componente do momento (torque) da força em torno do eixo . Denotando esse componente por , temos
Passo 7
Somar sobre todas as partículas e integrar para obter o trabalho total; então relacionar com a energia potencial.
- Somando sobre todas as partículas a contribuição infinitesimal de trabalho, o trabalho infinitesimal total das forças externas é
onde é a soma dos torques externos em torno do eixo (isto é, o torque resultante). - Integrando desde
até , o trabalho total realizado pelas forças externas é - O trabalho realizado contra as forças externas (isto é, o trabalho que deve ser fornecido para contrariar as forças externas) é o negativo desse valor:
- Definindo a energia potencial
de modo que a variação seja igual ao trabalho realizado contra as forças externas, obtemos Escolhendo a referência recupera exatamente a forma que é a Eq. (5.14) anunciada.
Comentário sobre o sinal: é a mesma convenção usual de potenciais conservativos — a energia potencial aumenta quando se realiza trabalho contra as forças externas; o trabalho das próprias forças externas seria negativo dessa variação.
Passo 8
Resumo final em palavras (rápido e motivador):
- (a) Para rotação em torno de um eixo fixo cada partícula tem velocidade tangencial
; somando chega-se a . - (b) Para uma pequena rotação
o deslocamento de cada partícula leva a um trabalho infinitesimal igual ao torque em torno do eixo vezes ; somando e integrando dá . O trabalho contra as forças externas é o negativo disso, portanto a energia potencial pode ser escrita como .
Resposta
(a)
(b)
(em particular, escolhendo
,
).