1.77 (UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte)

Considere o delta de Kronecker:
\delta_{i j}= \begin{cases}1 & i=j \\\\ 0 & i \neq j\end{cases}
Mostre que:
\sum_{j} \delta_{i j} a_{j}=a_{i}

Passo 1

O enunciado dá a definição do delta de Kronecker:
\delta_{i j}= \begin{cases}1 & \text{se } i=j, \\[4pt] 0 & \text{se } i \neq j,\end{cases}
e pede para mostrar que, para uma sequência (ou vetor) (a_j),
\sum_{j} \delta_{i j} a_{j}=a_{i}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição de \delta_{i j} (peguei isso do enunciado).
  • A soma é feita sobre o índice j (assume-se que j percorre todos os índices em que a_j está definido, por exemplo j=1,\dots,n se for um vetor de n componentes).
  • O objetivo é provar a igualdade acima para um índice fixo i.]

Passo 2

Entendendo o que a soma significa e o papel do índice j.
Quando escrevemos
\sum_{j} \delta_{i j} a_{j}
isso representa a soma dos termos \delta_{i1}a_1+\delta_{i2}a_2+\cdots+\delta_{in}a_n (se j vai de 1 a n), ou, em linguagem geral, a soma de todos os produtos \delta_{i j}a_j para cada valor permitido de j. O índice j é um índice “dummy” (ou seja, é apenas uma variável de soma; podemos trocá-lo por qualquer outra letra sem mudar nada).

Passo 3

Aplicando a definição do delta de Kronecker termo a termo.
Para cada termo da soma temos duas possibilidades, dependendo se j=i ou j\neq i:
  • Se j=i, então, pela definição, \delta_{i j}=1, e o termo é 1\cdot a_i = a_i.
  • Se j\neq i, então \delta_{i j}=0, e o termo é 0\cdot a_j = 0.
Portanto, na soma só o termo correspondente a j=i pode ser não nulo; todos os demais termos são zero.

Passo 4

Escrevendo a soma separando o termo não nulo.
Se j percorre os valores 1,2,\dots,n, por exemplo, podemos escrever:
\sum_{j=1}^{n} \delta_{i j} a_{j} = \underbrace{\delta_{i i} a_{i}}_{\text{termo com }j=i} \;+\; \sum_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{n} \underbrace{\delta_{i j} a_{j}}_{\text{esses termos são }0}.ã
Pela definição \delta_{i i}=1 e, para j\neq i, \delta_{i j}=0. Assim:
\sum_{j=1}^{n} \delta_{i j} a_{j} = 1\cdot a_{i} + \sum_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{n} 0 = a_{i}.

Passo 5

Interpretação intuitiva e exemplo concreto para fixar a ideia.
Intuitivamente, o delta de Kronecker age como um “seletor” que escolhe apenas a componente a_i do vetor: multiplica cada a_j por 1 se j=i ou por 0 caso contrário, deixando só a_i.
Exemplo numérico rápido (pegando valores concretos para ilustrar): seja (a_1,a_2,a_3)=(2,5,7) e tome i=2. Então
\sum_{j=1}^{3}\delta_{2j}a_j=\delta_{21}a_1+\delta_{22}a_2+\delta_{23}a_3=0\cdot2+1\cdot5+0\cdot7=5=a_2.
Funciona do mesmo modo para qualquer i.

Passo 6

Comentários finais e conexão com matrizes (intuição útil).
Uma maneira compacta de ver isso é notar que a matriz (\delta_{ij}) é exatamente a matriz identidade I. A expressão \sum_j \delta_{i j} a_j é então a fórmula para a componente i-ésima do produto I\mathbf{a}, que é igual ao vetor \mathbf{a} — daí sair a_i. Isso é só uma interpretação alternativa; a prova direta já foi feita acima.

Resposta

\sum_{j} \delta_{i j} a_{j}=a_{i}

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