Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
(a) se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e o motivo.
(b) se o escoamento é permanente ou nảo, e o motivo.
(As quantidades a e b são constantes escalares).
\mathbf{V}=a x \mathbf{i}+b y^{2} \mathbf{j}+c y t \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{V}=a\,x\,\mathbf{i}+b\,y^{2}\,\mathbf{j}+c\,y\,t\,\mathbf{k},
com a, b e c constantes escalares. Precisamos determinar:
(a) se o escoamento é uni, bi ou tridimensional;
(b) se o escoamento é permanente ou não.

Passo 2

Para saber a dimensionalidade, contamos em quantas direções há componente de velocidade não nula. Aqui existem as três componentes: \;V_x=a\,x, \;V_y=b\,y^2 e \;V_z=c\,y\,t.
Como todas as direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} têm componente diferente de zero, o escoamento é tridimensional.

Passo 3

Um campo de velocidade é permanente se não depende explicitamente do tempo, ou seja, se
\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=\mathbf{0}.
Neste caso, a componente V_z=c\,y\,t varia com t, logo \partial \mathbf{V}/\partial t\neq\mathbf{0}
e o escoamento não é permanente.

Resposta

(a) Tridimensional, pois há três componentes de velocidade não nulas V_x, V_y e V_z.
(b) Não permanente (instacionário), pois há dependência explícita em t na componente V_z.

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