Demonstre que os vetores
e
são os vetores diretores de um triângulo reto.
Passo 1
Beleza, galera! O enunciado pede pra provar que os vetores
são os “lados” de um triângulo RETO.
Conteúdo: Álgebra vetorial – vamos usar
1) Soma de vetores (pra ver se fecham o triângulo), e
2) Produto escalar (pra provar que um ângulo é de 90°).
Passo 2
Primeiro, soma de vetores: se a gente colocar
“de ponta” em
, o resultado
deve ser o terceiro lado
.
Calculemos componente a componente:
Calculemos componente a componente:
E isso bate exatamente com
Teoria: somar vetores é só somar cada componente; fechar o triângulo é ter
Passo 3
Agora, produto escalar: pra ter ângulo reto entre dois vetores, o produto escalar deles tem de ser zero.
Definição:
Definição:
Então
Como deu zero, o ângulo entre
e
é de
.
Passo 4
Juntando tudo:
-
fecha o triângulo; -
garante que o ângulo entre eles é reto.
Resposta
Sim, esses vetores formam os lados de um triângulo reto, pois fecham a figura (
) e têm ângulo de 90° entre
e
(
).