Demonstre que os vetores A=2 x-1 y+1 z B=1 x-3 y-5 z e C=3 x-4 y-4 z são os vetores diretores de um triângulo reto.

Passo 1

Beleza, galera! O enunciado pede pra provar que os vetores
vec A = 2hat x - 1hat y + 1hat z, vec B = 1hat x - 3hat y - 5hat z, vec C = 3hat x - 4hat y - 4hat z
são os “lados” de um triângulo RETO.
Conteúdo: Álgebra vetorial – vamos usar
1) Soma de vetores (pra ver se fecham o triângulo), e
2) Produto escalar (pra provar que um ângulo é de 90°).

Passo 2

Primeiro, soma de vetores: se a gente colocar vec A “de ponta” em vec B, o resultado vec A + vec B deve ser o terceiro lado vec C.
Calculemos componente a componente:
vec A + vec B = (2+1),hat x +(-1-3),hat y + (1-5),hat z = 3hat x -4hat y -4hat z
E isso bate exatamente com vec C.
Teoria: somar vetores é só somar cada componente; fechar o triângulo é ter vec A + vec B = vec C, (na montagem ponta-a-ponta).

Passo 3

Agora, produto escalar: pra ter ângulo reto entre dois vetores, o produto escalar deles tem de ser zero.
Definição:
vec Acdot vec B = AxBx + AyBy + AzBz
Então
vec Acdot vec B = (2)(1) + (-1)(-3) + (1)(-5) = 2 + 3 -5 = 0
Como deu zero, o ângulo entre vec A e vec B é de 90^circ,.

Passo 4

Juntando tudo:
  1. vec A + vec B = vec C fecha o triângulo;
  2. vec Acdotvec B = 0 garante que o ângulo entre eles é reto.

Resposta

Sim, esses vetores formam os lados de um triângulo reto, pois fecham a figura ( vec A+vec B=vec C) e têm ângulo de 90° entre vec A e vec B ( vec Acdotvec B=0).

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