Se a1=2, a2=3 e an+1=an+an-12 ; n>2, n in N. Listar os termos da sequência (an)n in N.

Passo 1

O enunciado dá a sequência l(anr)ninN com
a1 = 2, a2 = 3,
e a recorrência de ordem 2
an+1 = an + an-12, n>=2
Este é um caso de recorrência linear homogênea com coeficientes constantes; vamos primeiro calcular alguns termos e depois obter a fórmula geral via equação característica.

Passo 2

Calculando manualmente os primeiros termos, usamos ;an+1=(an+an-1)/2:
a3 = a2 + a12 = 3 + 22 = 52, a4 = a3 + a22 = tfrac52 + 32 = tfrac114,
a5 = a4 + a32 = tfrac114 + tfrac522 = tfrac218, a6 = a5 + a42 = tfrac218 + tfrac1142 = tfrac4316,
e assim por diante.

Passo 3

Para achar o termo geral, suponha an = r^n. A equação característica é
r^2 - 12,r - 12 = 0
Resolvendo:
r = tfrac12 pm raiztfrac14 + 22 = tfrac12 pm tfrac322 ;Longrightarrow; r1 = 1,; r2 = -tfrac12

Passo 4

A solução geral é
an = Acdot1^n + Bcdotl(-tfrac12r)^n = A + Bl(-tfrac12r)^n
Impondo a1=2 e a2=3:
A + Bl(-tfrac12r)^1 = 2, A + Bl(-tfrac12r)^2 = 3, Longrightarrow A = tfrac83,; B = tfrac43

Passo 5

Logo o termo geral é
an = 83 + 43l(-tfrac12r)^n,
e os primeiros termos são
2,;3,;tfrac52,;tfrac114,;tfrac218,;tfrac4316,;dots

Resposta

an = 83 + 43l(-tfrac12r)^n,
portanto a sequência começa
2,;3,;tfrac52,;tfrac114,;tfrac218,;dots

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