UNIOESTE - Curso: Eng. Civil - Disciplina: Geometria Analítica e Vetorial
Lista de Exercícios - Produto de Vetores
Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2), calcular:
(u times v) cdot u e u cdot(v times u)

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois produtos mistos envolvendo vetores em R^3:
(utimesv)cdotu e ucdot(vtimesu). Vamos usar a definição de produto vetorial via determinante de ordem 3 e a propriedade de anticomutatividade do produto vetorial.

Passo 2

Para achar utimesv, montamos o determinante
utimesv = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & -1 & 0 =i,( (-1)cdot 0 - 1cdot(-1) ) -j,( 2cdot 0 - 1cdot 1 ) +k,( 2cdot(-1) - (-1)cdot 1 )
que simplifica para
utimesv = (1,,1,,-1)

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar (utimesv)cdotu. Como utimesv é sempre ortogonal a u, esse escalar tende a zero, mas vamos conferir:
(utimesv)cdotu = (1,1,-1)cdot(2,-1,1) = 1cdot2 + 1cdot(-1) + (-1)cdot1 = 2 - 1 - 1 = 0

Passo 4

Para ucdot(vtimesu) usamos a anticomutatividade do produto vetorial:
vtimesu = -,(utimesv) =(-1,-1,1)
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ucdot(vtimesu) =ucdotl(-(utimesv)r) =-,l(ucdot(utimesv)r) =-0 =0

Resposta

(utimesv)cdotu=0 ucdot(vtimesu)=0

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