Se (a1, b1) sim(a2, b2) & (c1, d1) sim(c2, d2), então
(a1+c1, b1+d1) sim(a2+c2, b2+d2)

Passo 1

Então, o que temos aqui é uma relação de equivalência entre pares ordenados. Basicamente, se é equivalente a e é equivalente a , queremos mostrar que a soma desses pares também mantém essa equivalência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como ela se comporta com operações de soma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é chamada de relação de equivalência se ela for:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
No nosso caso, estamos assumindo que é uma relação de equivalência, então essas propriedades são garantidas.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que se e , então .
Para isso, vamos usar a propriedade de adição de relações de equivalência. Ou seja, se duas relações são verdadeiras individualmente, a soma delas também deve manter a equivalência.

Passo 4

Vamos detalhar isso:
  1. Sabemos que . Isso significa que há alguma relação que conecta esses dois pares.
  2. Também sabemos que . Novamente, uma relação conecta esses pares.
  3. Quando somamos os componentes correspondentes desses pares, temos e .
Como a relação é uma relação de equivalência e respeita as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade, a soma desses pares também manterá a equivalência entre eles.

Passo 5

Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Se (a1, b1) sim (a2, b2) e (c1, d1) sim (c2, d2),
então (a1+c1, b1+d1) sim (a2+c2, b2+d2) ã
Isso ocorre porque a relação de equivalência preserva a estrutura ao realizar operações como a soma.

Resposta

Portanto, se e , então . Isso mostra que a relação de equivalência é compatível com a operação de soma dos pares ordenados.

Exercícios relacionados