Se
&
, então
Passo 1
Então, o que temos aqui é uma relação de equivalência entre pares ordenados. Basicamente, se
é equivalente a
e
é equivalente a
, queremos mostrar que a soma desses pares também mantém essa equivalência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como ela se comporta com operações de soma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto é chamada de relação de equivalência se ela for:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja,
. - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
No nosso caso, estamos assumindo que
é uma relação de equivalência, então essas propriedades são garantidas.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que se
e
, então
.
Para isso, vamos usar a propriedade de adição de relações de equivalência. Ou seja, se duas relações são verdadeiras individualmente, a soma delas também deve manter a equivalência.
Passo 4
Vamos detalhar isso:
- Sabemos que
. Isso significa que há alguma relação que conecta esses dois pares. - Também sabemos que
. Novamente, uma relação conecta esses pares. - Quando somamos os componentes correspondentes desses pares, temos
e .
Como a relação
é uma relação de equivalência e respeita as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade, a soma desses pares também manterá a equivalência entre eles.
Passo 5
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Isso ocorre porque a relação de equivalência preserva a estrutura ao realizar operações como a soma.
Resposta
Portanto, se
e
, então
. Isso mostra que a relação de equivalência é compatível com a operação de soma dos pares ordenados.