Encontrar a direção de máximo valor absoluto para a derivada partial fpartial s(P0), sendo f=(x+y, 1) e P0=(0,0).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial f = (x + y, 1) e queremos encontrar a direção onde a derivada direcional partial fpartial s no ponto P0 = (0,0) assume seu valor absoluto máximo. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas direcionais e matrizes jacobianas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada direcional da função vetorial f no ponto P0 na direção de um vetor unitário u = (u1, u2). A derivada direcional é dada pela matriz jacobiana de f multiplicada pelo vetor u.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz jacobiana J da função f = (x + y, 1). A matriz jacobiana é composta pelas derivadas parciais de cada componente de f em relação a x e y.
J = partial f1partial x & partial f1partial y partial f2partial x & partial f2partial y
Calculando as derivadas:
partial f1partial x = 1, partial f1partial y = 1
partial f2partial x = 0, partial f2partial y = 0
Portanto, a matriz jacobiana em P0 é:
J = 1 & 1 0 & 0

Passo 4

A derivada direcional partial fpartial s na direção de u é dada por:
partial fpartial s = J cdot u = 1 & 1 0 & 0 u1 u2 = u1 + u2 0

Passo 5

Queremos encontrar a direção u que maximize o valor absoluto da derivada direcional. Observando a segunda componente, vemos que ela é sempre zero, então nos concentramos na primeira componente: u1 + u2.
Como u é um vetor unitário, temos a condição:
u1^2 + u2^2 = 1

Passo 6

Para maximizar |u1 + u2|, podemos utilizar o método de Lagrange para otimizar sob a restrição u1^2 + u2^2 = 1.
Definimos a função:
L(u1, u2, lambda) = u1 + u2 + lambda (1 - u1^2 - u2^2)
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial u1 = 1 - 2lambda u1 = 0 Rightarrow u1 = 12lambda
partial Lpartial u2 = 1 - 2lambda u2 = 0 Rightarrow u2 = 12lambda
partial Lpartial lambda = 1 - u1^2 - u2^2 = 0
Substituindo u1 e u2 na última equação:
1 - (12lambda)^2 - (12lambda)^2 = 0 Rightarrow 1 - 14lambda^2 - 14lambda^2 = 0 Rightarrow 1 - 12lambda^2 = 0
Resolvendo para lambda:
12lambda^2 = 1 Rightarrow lambda^2 = 12 Rightarrow lambda = pm raiz22
Portanto,
u1 = u2 = 12 cdot raiz22 = 1raiz2
ou
u1 = u2 = 12 cdot -raiz22 = -1raiz2

Passo 7

Assim, as direções que maximizam o valor absoluto da derivada direcional são:
u = ( 1raiz2, 1raiz2 ) e u = ( -1raiz2, -1raiz2 )

Resposta

A direção de máximo valor absoluto para a derivada partial fpartial s(P0) é o vetor unitário ( 1raiz2, 1raiz2 ) ou ( -1raiz2, -1raiz2 ).

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