Encontrar a direção de máximo valor absoluto para a derivada
, sendo
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
e queremos encontrar a direção onde a derivada direcional
no ponto
assume seu valor absoluto máximo. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas direcionais e matrizes jacobianas.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada direcional da função vetorial
no ponto
na direção de um vetor unitário
. A derivada direcional é dada pela matriz jacobiana de
multiplicada pelo vetor
.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz jacobiana
da função
. A matriz jacobiana é composta pelas derivadas parciais de cada componente de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas:
Portanto, a matriz jacobiana em
é:
Passo 4
A derivada direcional
na direção de
é dada por:
Passo 5
Queremos encontrar a direção
que maximize o valor absoluto da derivada direcional. Observando a segunda componente, vemos que ela é sempre zero, então nos concentramos na primeira componente:
.
Como
é um vetor unitário, temos a condição:
Passo 6
Para maximizar
, podemos utilizar o método de Lagrange para otimizar sob a restrição
.
Definimos a função:
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Substituindo
e
na última equação:
Resolvendo para
:
Portanto,
ou
Passo 7
Assim, as direções que maximizam o valor absoluto da derivada direcional são:
Resposta
A direção de máximo valor absoluto para a derivada
é o vetor unitário
ou
.