A1: Usando a definiçāo de limite sequência, demonstre que \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{2 n+1}=\frac{1}{2}.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição de limite de sequência, que
\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Informações dadas e objetivo explícito:
A sequência é a_n=\dfrac{n}{2n+1}.
Deve-se provar que, para todo \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale \left|a_n-\dfrac{1}{2}\right|<\varepsilon.
Não há outros dados; usar a definição \varepsilon-N é obrigatório.
Passo 2
Lembrete da definição de limite de sequência (vai aqui a “aula” curta e prática):
Dizer que \lim_{n\to\infty} a_n=L significa: para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|a_n-L\right|<\varepsilon.
Aqui a_n=\dfrac{n}{2n+1} e L=\dfrac{1}{2}. O que precisamos é dar, para um \varepsilon arbitrário, um N que dependa de \varepsilon e provar que a desigualdade acima fica satisfeita.
Passo 3
Calcular explicitamente a diferença \left|a_n-\dfrac{1}{2}\right| e simplificá‑la passo a passo:
onde \lceil x\rceil é a função teto (o menor inteiro \ge x). O \max\{1,\cdot\} só garante que N seja pelo menos 1, o que é conveniente para sequências indexadas a partir de 1.
Com essa escolha, para todo n\ge N temos n>\dfrac{1}{4\varepsilon}-\dfrac{1}{2}, logo 4n+2>\dfrac{1}{\varepsilon} e portanto
Comentários didáticos e alternativa mais simples (útil na prova se quiser uma escolha de N mais direta):
Observação: para n\ge1 vale 4n+2\ge 4n, então
\frac{1}{4n+2}\le\frac{1}{4n}.
Se impuser \dfrac{1}{4n}<\varepsilon, basta tomar n>\dfrac{1}{4\varepsilon}. Assim uma escolha alternativa prática é
N=\left\lceil\frac{1}{4\varepsilon}\right\rceil,
o que também funciona para garantir \left|a_n-\tfrac{1}{2}\right|<\varepsilon para todo n\ge N. Essa versão é ligeiramente mais grosseira, mas é mais fácil de lembrar e usar na prova.
Passo 7
Conclusão formal final seguindo a definição \varepsilon-N:
Dado \varepsilon>0, escolha N como em Passo 5 (ou a alternativa do Passo 6). Então, para todo n\ge N,