A1: Usando a definiçāo de limite sequência, demonstre que \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{2 n+1}=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição de limite de sequência, que
\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Informações dadas e objetivo explícito:
  • A sequência é a_n=\dfrac{n}{2n+1}.
  • Deve-se provar que, para todo \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale \left|a_n-\dfrac{1}{2}\right|<\varepsilon.
  • Não há outros dados; usar a definição \varepsilon- N é obrigatório.

Passo 2

Lembrete da definição de limite de sequência (vai aqui a “aula” curta e prática):
  • Dizer que \lim_{n\to\infty} a_n=L significa: para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|a_n-L\right|<\varepsilon.
  • Aqui a_n=\dfrac{n}{2n+1} e L=\dfrac{1}{2}. O que precisamos é dar, para um \varepsilon arbitrário, um N que dependa de \varepsilon e provar que a desigualdade acima fica satisfeita.

Passo 3

Calcular explicitamente a diferença \left|a_n-\dfrac{1}{2}\right| e simplificá‑la passo a passo:
a_n-\frac{1}{2}=\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}.
Colocar na mesma fração:
\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2} =\frac{2n}{2(2n+1)}-\frac{2n+1}{2(2n+1)} =\frac{2n-(2n+1)}{2(2n+1)} =\frac{-1}{2(2n+1)}.
Tomando valor absoluto (lembre: |-x|=|x|):
\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right| =\frac{1}{2(2n+1)} =\frac{1}{4n+2}.

Passo 4

Queremos garantir \dfrac{1}{4n+2}<\varepsilon. Resolver essa desigualdade em termos de n.
Partindo de
\frac{1}{4n+2}<\varepsilon,
invertemos (atenção: \varepsilon>0 e 4n+2>0, então a inversão preserva a desigualdade):
4n+2>\frac{1}{\varepsilon}.
Isolando n:
n>\frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}.

Passo 5

Construir um N inteiro que garanta a condição para todo n\ge N.
  • A desigualdade obtida diz que qualquer n maior que \dfrac{1}{4\varepsilon}-\dfrac{1}{2} funciona.
  • Como n deve ser inteiro, podemos escolher
N=\max\left\{1,\left\lceil\frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}\right\rceil\right\},
onde \lceil x\rceil é a função teto (o menor inteiro \ge x). O \max\{1,\cdot\} só garante que N seja pelo menos 1, o que é conveniente para sequências indexadas a partir de 1.
  • Com essa escolha, para todo n\ge N temos n>\dfrac{1}{4\varepsilon}-\dfrac{1}{2}, logo 4n+2>\dfrac{1}{\varepsilon} e portanto
\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{4n+2}<\varepsilon.

Passo 6

Comentários didáticos e alternativa mais simples (útil na prova se quiser uma escolha de N mais direta):
  • Observação: para n\ge1 vale 4n+2\ge 4n, então
\frac{1}{4n+2}\le\frac{1}{4n}.
Se impuser \dfrac{1}{4n}<\varepsilon, basta tomar n>\dfrac{1}{4\varepsilon}. Assim uma escolha alternativa prática é
N=\left\lceil\frac{1}{4\varepsilon}\right\rceil,
o que também funciona para garantir \left|a_n-\tfrac{1}{2}\right|<\varepsilon para todo n\ge N. Essa versão é ligeiramente mais grosseira, mas é mais fácil de lembrar e usar na prova.

Passo 7

Conclusão formal final seguindo a definição \varepsilon- N:
  • Dado \varepsilon>0, escolha N como em Passo 5 (ou a alternativa do Passo 6). Então, para todo n\ge N,
\left|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{4n+2}<\varepsilon.
  • Isso mostra exatamente que \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{2}, pelo critério \varepsilon- N.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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