Determine os valores dos seguintes limites:
\lim \frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\ldots+\frac{n-1}{n^{2}}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se o valor do limite quando n cresce (ou seja, \\ n\to\infty) da soma
\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\ldots+\frac{n-1}{n^{2}}.
  • Informação útil escrita de modo compacto: a soma é
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}.
Objetivo final: calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}.

Passo 2

Reescrever a soma de forma mais manejável, tirando fator comum.
A expressão \sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}} tem o fator 1/n^{2} comum em todos os termos, então posso escrever
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n-1}k.
Isto é só usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre soma: multiplicar cada termo por 1/n^{2}.

Passo 3

Calcular a soma dos primeiros m inteiros (fórmula clássica) e aplicar com m=n-1.
Fórmula conhecida e fácil de justificar: para m\ge1,
\sum_{k=1}^{m}k=\frac{m(m+1)}{2}.
Rápida justificativa (método das duplas): escrevendo a soma em ordem direta e invertida e somando termo a termo, obtém-se m pares cada um somando m+1, logo a soma dupla vale m(m+1), dividindo por 2 dá a fórmula acima.
Aqui usamos m=n-1, então
\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}{2}.

Passo 4

Substituir essa soma de volta e simplificar a expressão que depende de n.
Voltando à expressão do Passo 2:
\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{(n-1)n}{2}.
Agora simplifico o fator n no numerador com um n do denominador:
\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n-1)}{2n^{2}}=\frac{n-1}{2n}.

Passo 5

Calcular o limite de \displaystyle\frac{n-1}{2n} quando n\to\infty.
Escrevo \displaystyle\frac{n-1}{2n} de forma que fique claro o termo que vai a zero:
\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}.
Usando propriedades limites (limite da soma é soma dos limites, e \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0), temos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.

Passo 6

Comentário didático (visão alternativa, útil para provas).
Outra forma de ver o mesmo resultado é reconhecer a soma como uma soma de Riemann aproximando a integral \int_{0}^{1} x\,dx. Escrevendo cada termo como \frac{k}{n}\cdot\frac{1}{n} e somando k=1 a n-1 obtém-se uma soma que aproximaria \int_{0}^{1} x\,dx quando n\to\infty; essa integral vale \tfrac{1}{2}. Isso é uma boa intuição para problemas parecidos.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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