Determine os valores dos seguintes limites:
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se o valor do limite quando
cresce (ou seja, ) da soma
- Informação útil escrita de modo compacto: a soma é
Objetivo final: calcular
.
Passo 2
Reescrever a soma de forma mais manejável, tirando fator comum.
A expressão
tem o fator
comum em todos os termos, então posso escrever
Isto é só usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre soma: multiplicar cada termo por
.
Passo 3
Calcular a soma dos primeiros
inteiros (fórmula clássica) e aplicar com
.
Fórmula conhecida e fácil de justificar: para
,
Rápida justificativa (método das duplas): escrevendo a soma em ordem direta e invertida e somando termo a termo, obtém-se
pares cada um somando
, logo a soma dupla vale
, dividindo por
dá a fórmula acima.
Aqui usamos
, então
Passo 4
Substituir essa soma de volta e simplificar a expressão que depende de
.
Voltando à expressão do Passo 2:
Agora simplifico o fator
no numerador com um
do denominador:
Passo 5
Calcular o limite de
quando
.
Escrevo
de forma que fique claro o termo que vai a zero:
Usando propriedades limites (limite da soma é soma dos limites, e
), temos
Passo 6
Comentário didático (visão alternativa, útil para provas).
Outra forma de ver o mesmo resultado é reconhecer a soma como uma soma de Riemann aproximando a integral
. Escrevendo cada termo como
e somando
a
obtém-se uma soma que aproximaria
quando
; essa integral vale
. Isso é uma boa intuição para problemas parecidos.