Determine os valores dos seguintes limites:
\lim \frac{1+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}}{n^{3}}.
Informações relevantes:
  • A soma no numerador é a soma dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos, ou seja \sum_{k=1}^{n} k^{2}.
  • Queremos estudar o comportamento dessa razão quando n cresce sem limite ( n\to\infty).

Passo 2

Vamos obter uma fórmula fechada para a soma \sum_{k=1}^{n} k^{2}\). Uma maneira elementar e didática é supor que essa soma é um polinômio em \(n\) de grau \(3\), \[\sum_{k=1}^{n} k^{2} = a n^{3} + b n^{2} + c n + d,
e determinar os coeficientes a,b,c,d usando valores pequenos de n.
  • Para n=0 a soma é 0, logo d=0.
  • Para n=1 temos 1 = a + b + c.
  • Para n=2 temos 1+4=5 = 8a + 4b + 2c.
  • Para n=3 temos 1+4+9=14 = 27a + 9b + 3c.
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} a+b+c=1,\\[4pt] 8a+4b+2c=5,\\[4pt] 27a+9b+3c=14. \end{cases}
Subtraindo 2\] vezes a primeira equação da segunda obtemos \(6a+2b=3, que simplifica para
3a+b=\tfrac{3}{2}.
Subtraindo 3 vezes a primeira da terceira obtemos 24a+6b=11, que simplifica para
4a+b=\tfrac{11}{6}.
Subtraindo as duas últimas equações: (4a+b)-(3a+b)=a=\tfrac{11}{6}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{3}.
Com a=\tfrac{1}{3} segue b=\tfrac{1}{2} e então c=\tfrac{1}{6}.
Portanto chegamos à fórmula conhecida
\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\tfrac{1}{3}n^{3}+\tfrac{1}{2}n^{2}+\tfrac{1}{6}n,
que também se escreve fatorada como
\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.]

Passo 3

Substituímos a fórmula no quociente pedido e simplificamos dividindo por n^{3}:
\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{2}}{n^{3}} = \frac{\tfrac{1}{3}n^{3}+\tfrac{1}{2}n^{2}+\tfrac{1}{6}n}{n^{3}} = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{n} + \tfrac{1}{6}\cdot\frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Sabendo que \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 e \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{2}}{n^{3}} = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2}\cdot 0 + \tfrac{1}{6}\cdot 0 = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

(Vamos reforçar com um método alternativo, útil na prova.) Usando a comparação com integrais — técnica de soma/integração — tem-se para n\ge1:
\int_{0}^{n} x^{2}\,dx \le \sum_{k=1}^{n} k^{2} \le \int_{1}^{n+1} x^{2}\,dx.
Calculando as integrais:
\int_{0}^{n} x^{2}\,dx = \frac{n^{3}}{3},\qquad \int_{1}^{n+1} x^{2}\,dx = \frac{(n+1)^{3}-1}{3}.
Dividindo tudo por n^{3} e fazendo n\to\infty ambas as extremidades tendem a \tfrac{1}{3}, então pelo Teorema do Confronto o limite da soma sobre n^{3} também é \tfrac{1}{3}. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\tfrac{1}{3}

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