A soma no numerador é a soma dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos, ou seja \sum_{k=1}^{n} k^{2}.
Queremos estudar o comportamento dessa razão quando n cresce sem limite (n\to\infty).
Passo 2
Vamos obter uma fórmula fechada para a soma \sum_{k=1}^{n} k^{2}\). Uma maneira elementar e didática é supor que essa soma é um polinômio em \(n\) de grau \(3\),
\[\sum_{k=1}^{n} k^{2} = a n^{3} + b n^{2} + c n + d,
e determinar os coeficientes a,b,c,d usando valores pequenos de n.
Subtraindo 2\] vezes a primeira equação da segunda obtemos \(6a+2b=3, que simplifica para
3a+b=\tfrac{3}{2}.
Subtraindo 3 vezes a primeira da terceira obtemos 24a+6b=11, que simplifica para
4a+b=\tfrac{11}{6}.
Subtraindo as duas últimas equações: (4a+b)-(3a+b)=a=\tfrac{11}{6}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{3}.
Com a=\tfrac{1}{3} segue b=\tfrac{1}{2} e então c=\tfrac{1}{6}.
Dividindo tudo por n^{3} e fazendo n\to\infty ambas as extremidades tendem a \tfrac{1}{3}, então pelo Teorema do Confronto o limite da soma sobre n^{3} também é \tfrac{1}{3}. Isso confirma o resultado anterior.