(a) Se a11=a22=a33=0, quantos dos seis termos de det A serão zero?
(b) (Mais difícil) Se a11=a22=a33=a44=0, quantos dos 24 produtos a1 j a2 k a3 l a4 m certamente serão zero?

Passo 1

O enunciado trata do desenvolvimento do determinante de uma matriz quadrada de ordem n como soma de n! termos, cada um correspondente a uma permutação de colunas. Cada termo é um produto do tipo
a1,sigma(1),a2,sigma(2)cdots an,sigma(n)
Como aii=0 para certos índices, qualquer termo que use uma dessas posições será zero. Vamos contar quantos termos ficam nulos em cada caso.

Passo 2

Caso n=3: são 3!=6 termos no desenvolvimento de det A. Cada termo corresponde a uma permutação sigma de 1,2,3 e vale
a1,sigma(1),a2,sigma(2),a3,sigma(3)
Como a11=a22=a33=0, qualquer permutação que tenha sigma(i)=i para algum iin1,2,3 faz o termo nulo.

Passo 3

Os únicos termos possivelmente não nulos são aqueles em que sigma(i)neq i para todo i, ou seja, as desarrumações (derangements) de 3 elementos. O número de desarrumações de 3 é
!3 = 2
Portanto sobram 6-2=4 termos que usam pelo menos um aii=0, ou seja, 4 termos são zero.

Passo 4

Caso n=4: o determinante tem 4!=24 termos
a1,sigma(1),a2,sigma(2),a3,sigma(3),a4,sigma(4)
Como a11=a22=a33=a44=0, só escapam de zero as permutações sem ponto fixo, isto é, as desarrumações de 4 elementos. Pelo princípio da inclusão-exclusão,
!4 = 4!l(1-tfrac11!+tfrac12!-tfrac13!+tfrac14!r) =24,(1-1+tfrac12-tfrac16+tfrac124) =9
Logo existem 9 termos não nulos e, consequentemente, 24-9=15 termos são zero.

Resposta

(a) 4
(b) 15

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