(a) Se
, quantos dos seis termos de
serão zero?
(b) (Mais difícil) Se
, quantos dos 24 produtos
certamente serão zero?
(b) (Mais difícil) Se
Passo 1
O enunciado trata do desenvolvimento do determinante de uma matriz quadrada de ordem
como soma de
termos, cada um correspondente a uma permutação de colunas. Cada termo é um produto do tipo
Como
para certos índices, qualquer termo que use uma dessas posições será zero. Vamos contar quantos termos ficam nulos em cada caso.
Passo 2
Caso
: são
termos no desenvolvimento de
. Cada termo corresponde a uma permutação
de
e vale
Como
, qualquer permutação que tenha
para algum
faz o termo nulo.
Passo 3
Os únicos termos possivelmente não nulos são aqueles em que
para todo
, ou seja, as desarrumações (derangements) de 3 elementos. O número de desarrumações de 3 é
Portanto sobram
termos que usam pelo menos um
, ou seja, 4 termos são zero.
Passo 4
Caso
: o determinante tem
termos
Como
, só escapam de zero as permutações sem ponto fixo, isto é, as desarrumações de 4 elementos. Pelo princípio da inclusão-exclusão,
Logo existem
termos não nulos e, consequentemente,
termos são zero.
Resposta
(a)
(b)
(b)