Mostre que det A=0, independentemente dos cinco elementos não nulos marcados com x :
A=[lll x & x & x 0 & 0 & x 0 & 0 & x ]
Quais são os cofatores da linha 1? Qual é o posto de A ? Quais são os 6 termos em det A ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= x11&x12&x13 0&0&x23 0&0&x33
em que cada xij marcado com “ x” é algum número não nulo, e pede:
  1. Mostrar que det A=0.
  2. Calcular os cofatores da linha 1, isto é, C11,C12,C13.
  3. Determinar o posto de A.
  4. Escrever os seis termos que aparecem na definição de det A por permutações de 1,2,3.

Passo 2

Como as linhas 2 e 3 de A são idênticas, ou seja,
linha2=(0,0,x23), linha3=(0,0,x33)
e ambas têm zeros nos dois primeiros componentes e só diferem potencialmente em x23 versus x33, elas são proporcionais. Logo, por uma propriedade básica de determinantes,
det A=0

Passo 3

O cofactor C1j é dado por
C1j=(-1)^1+jdetl(A sem linha 1 e coluna jr)
  • Para j=1, o menor é 0 & x230 & x33 =0cdot x33-0cdot x23=0, logo C11=+1cdot0=0.
  • Para j=2, o menor é idêntico, 0 & x230 & x33=0, e o sinal é (-1)^1+2=-1, então C12=-1cdot0=0.
  • Para j=3, o subdeterminante é 0 & 00 & 0=0, com sinal (-1)^1+3=+1, dando C13=0.

Passo 4

Como as linhas 2 e 3 são proporcionais, não contribuem com dimensão extra. Mas a linha 2 (que tem x23neq0) não é múltiplo da linha 1 (que tem pelo menos um dos x11,x12 não nulo), portanto há exatamente duas linhas linearmente independentes. Assim
rank(A)=2

Passo 5

Pela definição de determinante em 3times3 (soma sobre as 3!=6 permutações), os seis termos são
,+,x11x22x33, +,x12x23x31, +,x13x21x32, -,x11x23x32, -,x12x21x33, -,x13x22x31

Resposta

det A=0
C11=0,;C12=0,;C13=0
rank(A)=2
Seis termos de det A:
+,x11x22x33,; +,x12x23x31,; +,x13x21x32,; -,x11x23x32,; -,x12x21x33,; -,x13x22x31

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