Mostre que , independentemente dos cinco elementos não nulos marcados com :
Quais são os cofatores da linha 1? Qual é o posto de A ? Quais são os 6 termos em det A ?
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= x11&x12&x13 0&0&x23 0&0&x33
em que cada xij marcado com “x” é algum número não nulo, e pede:
Mostrar que det A=0.
Calcular os cofatores da linha 1, isto é, C11,C12,C13.
Determinar o posto de A.
Escrever os seis termos que aparecem na definição de det A por permutações de 1,2,3.
Passo 2
Como as linhas 2 e 3 de A são idênticas, ou seja,
linha2=(0,0,x23), linha3=(0,0,x33)
e ambas têm zeros nos dois primeiros componentes e só diferem potencialmente em x23 versus x33, elas são proporcionais. Logo, por uma propriedade básica de determinantes,
det A=0
Passo 3
O cofactor C1j é dado por
C1j=(-1)^1+jdetl(A sem linha 1 e coluna jr)
Para j=1, o menor é 0 & x230 & x33 =0cdot x33-0cdot x23=0, logo C11=+1cdot0=0.
Para j=2, o menor é idêntico, 0 & x230 & x33=0, e o sinal é (-1)^1+2=-1, então C12=-1cdot0=0.
Para j=3, o subdeterminante é 0 & 00 & 0=0, com sinal (-1)^1+3=+1, dando C13=0.
Passo 4
Como as linhas 2 e 3 são proporcionais, não contribuem com dimensão extra. Mas a linha 2 (que tem x23neq0) não é múltiplo da linha 1 (que tem pelo menos um dos x11,x12 não nulo), portanto há exatamente duas linhas linearmente independentes. Assim
rank(A)=2
Passo 5
Pela definição de determinante em 3times3 (soma sobre as 3!=6 permutações), os seis termos são