(3 pt) Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x)=A x, onde A=[lll 5 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 ]
(a) Determine os autovalores de T e seus respectivos autoespaços.
(b) Existe uma base B do R^3 formada por autovetores de T ? Em caso positivo, determine a matriz [T]B.

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear T:R^3toR^3 dada por T(x)=Ax com
A= 5 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2
(a) determinar os autovalores de T e seus autoespaços;
(b) verificar se existe base de autovetores e, em caso afirmativo, achar a matriz de T nessa base.
Vamos usar o polinômio característico de A e resolver (A-lambda I)x=0.

Passo 2

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =(5-lambda)det2-lambda&11&2-lambda =(5-lambda)l((2-lambda)^2-1r)
Expandindo,
(2-lambda)^2-1 =lambda^2-4lambda+3 =(lambda-1)(lambda-3)
Logo os autovalores são
lambda1=5, lambda2=3, lambda3=1

Passo 3

Para cada resolvemos :
  1. :
leva a e livre.
Assim
  1. :
e .
Assim
  1. :
e .
Assim

Passo 4

Os três autoespaços têm dimensão 1 e geram três vetores linearmente independentes. Logo T é diagonalizável.
Podemos escolher a base de autovetores
B=l(1,0,0),,(0,1,1),,(0,1,-1)r
Na base B, cada autovetor corresponde a uma coluna que multiplica por seu autovalor, de modo que
[T]B = 5&0&0 0&3&0 0&0&1

Resposta

(a) Os autovalores são
(b) Sim. Uma base de autovetores é
e

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