Quantas matrizes de permutação têm det ? Essas são permutações pares. Encontre uma que precise de quatro trocas para alcançar a matriz identidade.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Contar quantas matrizes de permutação têm .
Apresentar um exemplo de matriz de permutação que exija exatamente quatro transposições para voltar à identidade.
Para resolver isso, vamos usar:
A noção de permutações pares em .
O fato de que um ciclo de comprimento pode ser decomposto em exatamente transposições, e que esse é o número mínimo de transposições necessárias.
Passo 2
O total de permutações de cinco elementos é
Metade delas são pares (determinante ) e metade ímpares (determinante ). Logo, o número de permutações pares em é
Passo 3
Para encontrar uma permutação que exija quatro transposições mínimas, lembramos que um ciclo de comprimento precisa de transposições. Queremos , logo . Ou seja, um ciclo de comprimento 5 é um exemplo perfeito, pois é par (4 é par) e requer exatamente 4 trocas.
Passo 4
Um exemplo de ciclo de comprimento 5 em notação cíclica é
ou seja,
A matriz de permutação correspondente é
Como é um ciclo de 5 elementos, ela precisa de exatamente 4 transposições para ser transformada na matriz identidade.
Resposta
Existem 60 matrizes de permutação 5times5 com det P = +1.
Um exemplo de matriz que exige quatro trocas é