Quantas matrizes de permutação 5 times 5 têm det P=+1 ? Essas são permutações pares. Encontre uma que precise de quatro trocas para alcançar a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Contar quantas matrizes de permutação 5times5 têm det P=+1.
  2. Apresentar um exemplo de matriz de permutação que exija exatamente quatro transposições para voltar à identidade.
Para resolver isso, vamos usar:
  • A noção de permutações pares em S5.
  • O fato de que um ciclo de comprimento k pode ser decomposto em exatamente k-1 transposições, e que esse é o número mínimo de transposições necessárias.

Passo 2

O total de permutações de cinco elementos é
5! = 120
Metade delas são pares (determinante +1) e metade ímpares (determinante -1). Logo, o número de permutações pares em S5 é
5!2 = 1202 = 60

Passo 3

Para encontrar uma permutação que exija quatro transposições mínimas, lembramos que um ciclo de comprimento k precisa de k-1 transposições. Queremos k-1=4, logo k=5. Ou seja, um ciclo de comprimento 5 é um exemplo perfeito, pois é par (4 é par) e requer exatamente 4 trocas.

Passo 4

Um exemplo de ciclo de comprimento 5 em notação cíclica é
(1;2;3;4;5),
ou seja,
1to2, 2to3, 3to4, 4to5, 5to1
A matriz de permutação correspondente é
P = 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & 0
Como é um ciclo de 5 elementos, ela precisa de exatamente 4 transposições para ser transformada na matriz identidade.

Resposta

Existem 60 matrizes de permutação 5times5 com det P = +1.
Um exemplo de matriz que exige quatro trocas é
P = 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & 0 ,
que corresponde ao ciclo (1;2;3;4;5).

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