Ab?-l?Abb?s Ahmad ibn al-Bann?? (1256?1321), do Marrocos, considerava que um triângulo possuía 5 valores associados principais que poderiam ser de interesse: os comprimentos dos três lados, a altura e a área. Quantos problemas geométricos associados a triângulos poderiam ser formulados, nos quais algum número (pelo menos um, mas não todos) desses valores são fornecidos e o restante é solicitado. (Se o problema é ou não solucionável a partir das informações dadas não é relevante.)
Passo 1
O enunciado diz que um triângulo tem cinco valores principais de interesse: os comprimentos dos três lados, a altura e a área. Queremos contar quantos “problemas geométricos” distintos podem ser formulados em que se forneça pelo menos um desses valores e se peça o restante (ou seja, se dá um subconjunto não vazio e distinto do conjunto completo de cinco valores).
Passo 2
Para contar problemas assim, percebemos que cada escolha de quais valores são dados corresponde a um subconjunto dos cinco valores. A teoria combinatória nos diz que o número total de subconjuntos de um conjunto com
elementos é
Passo 3
Porém devemos excluir duas situações:
– o subconjunto vazio (quando não se dá nenhum valor, não é um problema válido),
– o subconjunto completo (quando se dão os cinco valores, não sobra nada para pedir).
Logo subtraímos de
, ficando
– o subconjunto vazio (quando não se dá nenhum valor, não é um problema válido),
– o subconjunto completo (quando se dão os cinco valores, não sobra nada para pedir).
Logo subtraímos