Questão 6 Seja \gamma(t)=(x(t), y(t)), t \in[\alpha, \beta], uma curva parametrizada em que x e y são funções continuamente diferenciáveis e tais que \left[x^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[y^{\prime}(t)\right]^{2} \neq 0, para todo t \in(\alpha, \beta). Mostre que o vetor \overrightarrow{v_{0}}=\gamma^{\prime}\left(t_{0}\right):=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) é um vetor diretor para a reta tangente a \gamma no ponto t=t_{0} \in(\alpha, \beta).

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva parametrizada
\gamma(t)=(x(t),y(t)),\quad t\in[\alpha,\beta],
com x e y de classe C^1 e
\bigl[x'(t)\bigr]^2+\bigl[y'(t)\bigr]^2\neq0\quad\forall t\in(\alpha,\beta).
Queremos mostrar que, no ponto t_0, o vetor
\overrightarrow v_0=\gamma'(t_0)=\bigl(x'(t_0),y'(t_0)\bigr)
é um vetor diretor da reta tangente à curva em \gamma(t_0). Vamos usar a noção de limite de vetores secantes e definição de reta tangente.

Passo 2

Definimos o vetor secante normalizado entre \gamma(t_0) e \gamma(t_0+h) por
v_h = \frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h} =\Bigl(\frac{x(t_0+h)-x(t_0)}{h},\,\frac{y(t_0+h)-y(t_0)}{h}\Bigr).
Como x e y são diferenciáveis em t_0, ao fazermos h\to0 temos
\lim_{h\to0}v_h =\Bigl(x'(t_0),\,y'(t_0)\Bigr) =\gamma'(t_0).

Passo 3

Pela definição geométrica de reta tangente, o vetor diretor dessa reta é justamente o limite dos vetores secantes normalizados quando h\to0. Como acabamos de ver, esse limite é \gamma'(t_0). Logo \gamma'(t_0) aponta na direção da reta tangente em \gamma(t_0).

Passo 4

Podemos então escrever a equação vetorial da reta tangente como
L(s)=\gamma(t_0)+s\,\gamma'(t_0),
ou seja, ela passa por \gamma(t_0) e tem vetor diretor \gamma'(t_0).

Resposta

O vetor \gamma'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0)) é vetor diretor da reta tangente à curva em t=t_0.

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