Questão 6 Seja \gamma(t)=(x(t), y(t)), t \in[\alpha, \beta], uma curva parametrizada em que x e y são funções continuamente diferenciáveis e tais que \left[x^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[y^{\prime}(t)\right]^{2} \neq 0, para todo t \in(\alpha, \beta). Mostre que o vetor \overrightarrow{v_{0}}=\gamma^{\prime}\left(t_{0}\right):=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) é um vetor diretor para a reta tangente a \gamma no ponto t=t_{0} \in(\alpha, \beta).
Pela definição geométrica de reta tangente, o vetor diretor dessa reta é justamente o limite dos vetores secantes normalizados quando h\to0. Como acabamos de ver, esse limite é \gamma'(t_0). Logo \gamma'(t_0) aponta na direção da reta tangente em \gamma(t_0).
Passo 4
Podemos então escrever a equação vetorial da reta tangente como
L(s)=\gamma(t_0)+s\,\gamma'(t_0),
ou seja, ela passa por \gamma(t_0) e tem vetor diretor \gamma'(t_0).
Resposta
O vetor \gamma'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0)) é vetor diretor da reta tangente à curva em t=t_0.