Suponhamos que um vírus de computador chamado Melissa esteja causando grandes transtornos ao sobrecarregar os recursos dos sistemas. O vírus se espalha por meio de uma mensagem de e-mail contendo um documento de processador de texto com uma macro maliciosa anexada.
Quando o documento é aberto, a macro encaminhava a mensagem de e-mail, junto com o anexo, para os primeiros 50 endereços obtidos da lista de contatos do usuário. Ao serem recebidas e abertas, essas cópias repetiam o processo, reenviando o e-mail e o documento para outros 50 endereços, e assim por diante.
Após o envio inicial para 50 endereços, cada um desses destinatários envia o e-mail para outros 50 endereços. Quantos destinatários, no total, receberam a mensagem após essas quatro iterações (sem contar o envio original)?

Passo 1

O enunciado diz que o vírus envia inicialmente para 50 endereços e, a cada “iteração”, cada destinatário faz o mesmo para outros 50. Queremos saber, após quatro iterações, o total de destinatários (sem contar o envio original). Isso configura uma progressão geométrica de primeiro termo a_1=50, razão q=50 e n=4.

Passo 2

Em uma progressão geométrica, o número de destinatários na iteração k é
a_k = a_1\,q^{\,k-1}.
Aqui, para k=1,2,3,4 temos a_k=50^k. O total procurado é
S_4 = \sum_{k=1}^{4}50^k.

Passo 3

Usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG:
S_n = a_1\,\frac{q^n-1}{q-1}.
Portanto
S_4 = 50\;\frac{50^4-1}{50-1}.

Passo 4

Calculemos as potências:
50^2 = 2500,\quad 50^3 = 125000,\quad 50^4 = 6250000.
Assim,
S_4 = 50 + 2500 + 125000 + 6250000.

Passo 5

Somando:
S_4 = 50 + 2500 + 125000 + 6250000 = 6377550.

Resposta

6377550

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