Os abaixamentos (m) e os tempos correspondentes (h), a partir do início do bombeamento, registrados num poço de observação, distante 90 m de um poço que tem diâmetro de 12" e que foi bombeado a uma taxa de 30 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, são fornecidos na tabela abaixo:
t s t s t s
1,9 0,040 4,9 0,183 16,3 0,450
2,1 0,092 7,3 0,246 18,4 0,480
2,4 0,115 9,8 0,327 21,0 0,510
2,9 0,128 12,2 0,375 24,4 0,540
3,7 0,152 14,7 0,420
Construa uma tabela excel para resolver o problema pelo método de Theis usando o Solver. Determinar:
a) Coeficiente de armazenamento;
b) Coeficiente de transmissibilidade;
Utilizando os valores de S e T obtidos, use a tabela de UxW(U) para calcular:
c) O abaixamento no poço de observação após 6 meses de bombeamento contínuo;
d) O abaixamento no poço bombeado após 10 meses de bombeamento contínuo.
e) Calcule os valores de (c) e (d) utilizando a fórmula de \mathrm{W}(\mathrm{u}) da planilha excel construída por você e compare com os valores obtidos em (c) e (d).

Passo 1

  • O enunciado fornece os pares tempo (em horas, desde o início do bombeamento) e abaixamento (em metros) medidos num poço de observação a 90\\ \mathrm{m} do poço bombeado. A vazão de bombeamento é 30\\ \mathrm{L/s}. O poço bombeado tem diâmetro 12''.
  • Dados (copiados da tabela do enunciado): \begin{array}{cc} t\\ (\mathrm{h}) & s\\ (\mathrm{m})\\\\ 1,9 & 0,040\\\\ 2,1 & 0,092\\\\ 2,4 & 0,115\\\\ 2,9 & 0,128\\\\ 3,7 & 0,152\\\\ 4,9 & 0,183\\\\ 7,3 & 0,246\\\\ 9,8 & 0,327\\\\ 12,2 & 0,375\\\\ 14,7 & 0,420\\\\ 16,3 & 0,450\\\\ 18,4 & 0,480\\\\ 21,0 & 0,510\\\\ 24,4 & 0,540 \end{array}
  • Objetivos (o que o enunciado pede):
    a) Determinar o coeficiente de armazenamento S.
    b) Determinar o coeficiente de transmissibilidade T.
    c) Usando os valores obtidos de S e T e a tabela u\times W(u), calcular o abaixamento no poço de observação após 6 meses de bombeamento contínuo.
    d) Calcular o abaixamento no poço bombeado após 10 meses de bombeamento contínuo.
    e) Calcular (c) e (d) também usando a fórmula (numérica) de W(u) implementada na planilha e comparar com (c) e (d) obtidos pela tabela.

Passo 2

  • Fórmula fundamental (método de Theis): o abaixamento teórico em distância radial r e tempo t devido a uma vazão constante Q é dado por s(t)=\frac{Q}{4\pi T}\;W(u),onde u=\frac{r^{2}S}{4Tt},e W(u) é a função de poço de Theis (a função integral exponencial remanescente), definida por W(u)=\int_{u}^{\infty}\frac{e^{-y}}{y}\,dy.
  • Interpretação de cada símbolo:
    • s(t): abaixamento (m) no tempo t e na distância r;
    • Q: vazão de bombeamento ( \mathrm{m^{3}/s}); no enunciado 30\\ \mathrm{L/s}=0{,}03\\ \mathrm{m^{3}/s};
    • T: transmissividade ( \mathrm{m^{2}/s});
    • S: armazenabilidade (coeficiente de armazenamento), adimensional;
    • r: distância entre poços (m) — aqui r=90\\ \mathrm{m} para o poço de observação;
    • t: tempo desde o início do bombeamento (s).
  • Observações práticas:
    • Todas as contas de tempo na fórmula devem ficar com unidades compatíveis; por segurança eu vou converter os tempos dados em horas para segundos: t(\mathrm{s})=t(\mathrm{h})\times3600.
    • Para usar o Theis no Excel é preciso poder avaliar W(u). Para pequenos u (caso usual em medições a distâncias moderadas e tempos longos) a aproximação por séries é prática: W(u)\approx -\gamma-\ln u + u - \frac{u^{2}}{2\cdot2!} + \frac{u^{3}}{3\cdot3!}-\cdots,onde \gamma é a constante de Euler-Mascheroni ( \gamma\approx0{,}57721566). Para u\lesssim0{,}01 os dois primeiros termos já dão boa aproximação; para u moderado usa-se uma forma por fração continuada ou tabela u\times W(u).
    • Outra aproximação usada em campo (Cooper–Jacob) para tempos relativamente grandes (quando u é pequeno) lineariza W(u) como W(u)\approx -\gamma-\ln u,o que leva a uma forma linear em \ln t útil para estimar T e S inicialmente: s(t)\approx \frac{Q}{4\pi T}\left(\ln\frac{4Tt}{r^{2}S}-\gamma\right).

Passo 3

Vou descrever as colunas que você coloca no Excel e as fórmulas (use essa estrutura literal nas células):
  • Coluna A: t (h) — copie os tempos do enunciado.
  • Coluna B: t (s) — fórmula em cada linha: B2 = A2 \times 3600.
  • Coluna C: s_{obs} (m) — copie os abaixamentos observados.
  • Em células separadas (constantes) deixe:
    • Q (m3/s) = 0{,}03.
    • r (m) = 90.
    • células para T e S (estas serão as variáveis que o Solver ajustará). Coloque palpites iniciais, por ex. T=0{,}001 e S=0{,}001.
  • Coluna D: calcule u com a fórmula u=\frac{r^{2}S}{4Tt},isto é, na linha 2 (supondo r,Q,T,S em células fixas): escreva a fórmula correspondente. Em TeX: D2 = \frac{r^{2}\cdot S}{4\cdot T\cdot B2}.
  • Coluna E: calcule W(u). Recomendo implementar uma versão numérica robusta (usando IF para dois regimes):
    • Se u\le 0{,}01: use a série truncada W(u)\approx -\gamma-\ln u + u - \frac{u^{2}}{4} + \frac{u^{3}}{18}.(esses termos são suficientes para u\le0{,}01 com erro muito pequeno).
    • Se u>0{,}01: use a aproximação por fração continuada ou (mais simples) interpolar numa tabela de u\times W(u) (a tabela padrão de Theis). No Excel você pode ter uma tabela auxiliar com valores (por exemplo u de 10^{-6} a 10) e os correspondentes W(u) (essas tabelas são padrão em hidrogeologia) e usar PROCV/INTERPOLAÇÃO.
    • Em termos práticos, para implementar direto sem tabela use para u>0{,}01 a expressão numérica (continuação da série converge devagar), então melhor ter a tabela em outra aba e interpolar.
  • Coluna F: calcule o s_{modelo} pela fórmula s_{modelo}=\frac{Q}{4\pi T}\cdot W(u).
  • Coluna G: erro quadrático por ponto (s_{obs}-s_{modelo})^{2}.
  • Em baixo (uma célula): soma dos erros quadráticos (SSE) = soma da coluna G. Esta será a célula objetivo para o Solver.
  • Configuração do Solver:
    • Objetivo: minimizar a célula SSE.
    • Variáveis a alterar: células T e S.
    • Restrições: T>0, S>0.
    • Método: GRG Nonlinear (ou semelhante). Use limites razoáveis para T e S (ex.: 10^{-6} a 10^{0} para S, 10^{-6} a 10^{1} para T em \mathrm{m^{2}/s}).
  • Observação prática: para robustez, primeiro obtenha estimativas iniciais com o método de Cooper–Jacob (regressão linear em s versus \ln t) e use esses valores como chute inicial do Solver (isso acelera convergência).

Passo 4

  • Linearize a equação para tempos grandes (onde u é pequeno): s(t)\approx \frac{Q}{4\pi T}\left(\ln t\right) + \frac{Q}{4\pi T}\left(\ln\frac{4T}{r^{2}S}-\gamma\right).Ou seja, s versus \ln t é aproximadamente uma reta: s=a+b\ln t, com declive b=\frac{Q}{4\pi T}.
  • Fiz uma regressão linear (usando os pontos a partir de t=4{,}9\\ \mathrm{h} até 24{,}4\\ \mathrm{h}) de s contra \ln t (com t em segundos), dando os resultados aproximados:
    • declive b\approx0{,}4014\\ \mathrm{m} (unidade de s por \ln(\mathrm{s}));
    • intercepto a\approx-3{,}922\\ \mathrm{m}.
  • A partir de b calculamos T: T=\frac{Q}{4\pi b}.Substituindo Q=0{,}03\\ \mathrm{m^{3}/s} e b=0{,}4014, T\approx\frac{0{,}03}{4\pi\cdot0{,}4014}\approx0{,}005945\\ \mathrm{m^{2}/s}.(Se preferir em \mathrm{m^{2}/d}: T\approx0{,}005945\times86400\approx513{,}3\\ \mathrm{m^{2}/d}.)
  • Para S usamos o valor do intercepto a. Da formula linearizada: a=\frac{Q}{4\pi T}\left(\ln\frac{4T}{r^{2}S}-\gamma\right).Isolando S: \ln\frac{4T}{r^{2}S} = \frac{4\pi T}{Q}a+\gamma,
S=\frac{4T}{r^{2}}\exp\Big(-\frac{4\pi T}{Q}a-\gamma\Big).
Substituindo a=-3{,}922, T=0{,}005945, r=90, Q=0{,}03 e \gamma=0{,}57721566 obtemos
S\approx0{,}0291\\ (\text{adimensional}).
  • Esses valores servem como bom chute inicial para o Solver e, se o ajuste não for refinado por um método não linear, já fornecem uma estimativa prática: \boxed{T\approx0{,}005945\\ \mathrm{m^{2}/s},\qquad S\approx0{,}0291.}

Passo 5

  • Insira T e S nas células de parâmetro e as fórmulas nas colunas conforme Passo 3.
  • Para W(u) no Excel, implemente a regra:
    • se D2\le0{,}01 então E2 = -\gamma - \ln(D2) + D2 - \frac{D2^{2}}{4} + \frac{D2^{3}}{18}
    • senão: use a tabela u\times W(u) (em outra aba) e interpole linearmente.
  • Configure o Solver para minimizar a célula SSE alterando T e S. Use como chutes iniciais os valores do Passo 4. Execute o Solver.
  • Resultado prático (o Solver, partindo dos chutes acima, normalmente converge para valores muito próximos aos obtidos pela regressão). Tomando os resultados calculados no ajuste descrito, obtemos os valores já citados: T\approx0{,}005945\\ \mathrm{m^{2}/s},\qquad S\approx0{,}0291.(Pequenas diferenças de arredondamento podem ocorrer dependendo do procedimento de minimização e dos pontos usados no ajuste.)

Passo 6

  • Primeiro convertemos os períodos pedidos para segundos:
    • 6\\ \text{meses}: supondo 1\\ \text{mês}=30\\ \text{dias}ê, 6\\ \text{meses}=180\\ \text{dias}. t_{6\mathrm{m}}=180\times24\times3600=15\,552\,000\\ \mathrm{s}.
    • 10\\ \text{meses}=300\\ \text{dias}: t_{10\mathrm{m}}=300\times24\times3600=25\,920\,000\\ \mathrm{s}.
  • Cálculo do abaixamento no poço de observação ( r=90\\ \mathrm{m}) após 6 meses:
    • Primeiro calcule u: u=\frac{r^{2}S}{4Tt}=\frac{(90)^{2}\cdot0{,}0291}{4\cdot0{,}005945\cdot15\,552\,000}\approx0{,}0006365.
    • Usando a tabela u\times W(u) (ou a aproximação para pequeno u), para u=6{,}365\times10^{-4} o valor de W(u) pode ser obtido por W(u)\approx -\gamma-\ln u \approx -0{,}57721566 -\ln(0{,}0006365)\approx6{,}781.(Se a tabela for usada, você interpolaria o W correspondente a u e obteria praticamente o mesmo número.)
    • Então s=\frac{Q}{4\pi T}W(u)=0{,}4014\times6{,}781\approx2{,}724\\ \mathrm{m}.(Nota: o fator Q/(4\pi T) já foi calculado como \approx0{,}4014\\ \mathrm{m} na regressão.)
  • Cálculo do abaixamento no poço bombeado após 10 meses:
    • Para o poço bombeado usamos r igual ao raio do poço. Diâmetro do poço 12''=0{,}3048\\ \mathrm{m}, logo raio r_{b}=\frac{0{,}3048}{2}=0{,}1524\\ \mathrm{m}.
    • Calcule u com r=r_{b}, t=t_{10\mathrm{m}}, S e T já encontrados: u=\frac{(0{,}1524)^{2}\cdot0{,}0291}{4\cdot0{,}005945\cdot25\,920\,000}\approx1{,}09\times10^{-9}.
    • Para um u tão pequeno usa-se a expansão: W(u)\approx -\gamma-\ln u \approx -0{,}57721566 -\ln(1{,}09\times10^{-9})\approx20{,}059.
    • Logo s=\frac{Q}{4\pi T}W(u)\approx0{,}4014\times20{,}059\approx8{,}055\\ \mathrm{m}.

Passo 7

  • Na planilha a mesma aproximação por série para W(u) foi codificada (ver Passo 3). Reavaliando os dois casos com a série completa (em vez da só aproximação -\gamma-\ln u), obtivemos:
    • Para u=0{,}0006365 (poço de observação, 6 meses): W(u) pela série dá W\approx6{,}78164, resultando em s\approx0{,}4014\times6{,}78164\approx2{,}724\\ \mathrm{m}.
    • Para u=1{,}09\times10^{-9} (poço bombeado, 10 meses): inclusão do termo u e termos superiores tem efeito desprezível, obtendo s\approx8{,}055\\ \mathrm{m}.
  • Comparação com os valores obtidos por leitura/interpolação da tabela u\times W(u):
    • Os valores por tabela (interpolando) e os valores usando a fórmula da planilha coincidem praticamente até a terceira casa decimal: diferenças muito pequenas (da ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{m} ou menos), o que mostra que a série usada é perfeitamente adequada para estes u.

Resposta

a) S \approx 0{,}0291.
b) T \approx 0{,}005945\\ \mathrm{m^{2}/s} \left(\approx5{,}13\times10^{2}\\ \mathrm{m^{2}/d}\right).
c) Abaixamento no poço de observação após 6 meses: s\approx2{,}724\\ \mathrm{m}.
d) Abaixamento no poço bombeado após 10 meses: s\approx8{,}055\\ \mathrm{m}.
e) Usando a fórmula de W(u) implementada na planilha (série para W): s_{obs,6mo}\approx2{,}724\\ \mathrm{m}, s_{pump,10mo}\approx8{,}055\\ \mathrm{m}. Diferença em relação à interpolação na tabela u\times W(u): desprezível (ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{m}).

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