Na tabela abaixo são fornecidos os abaixamentos (m) e os tempos correspondentes (h), a partir do início do bombeamento, registrados num poço de observação, distante 40 m de um poço bombeado a uma taxa de
. Determinar os coeficientes de armazenamento e de transmissibilidade, usando o método de Jacob.
1,8
2,7
5,4
9,0
18,0
54,0
0,6
0,77
1,10
1,29
1,74
2,43
|
|
1,8 | 2,7 | 5,4 | 9,0 | 18,0 | 54,0 |
|
|
0,6 | 0,77 | 1,10 | 1,29 | 1,74 | 2,43 |
Passo 1
O enunciado fornece medições de tempo e de abaixamento num poço de observação, e pede para determinar os coeficientes de armazenamento e de transmissibilidade usando o método de Jacob. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Outras informações explícitas do enunciado:
- Vazão bombeada
. - Distância entre poços
.
O que é pedido:
- Determinar a transmissibilidade
e o coeficiente de armazenamento usando o método de Jacob (aproximação de Theis em regime tardio).
Passo 2
Explicação didática do método de Jacob (o que vamos usar e por quê)
- Idea essencial: para um teste de bombeamento com resposta aquifer tipo Theis, em tempos suficientemente grandes a curva de abaixamento
versus fica aproximadamente linear quando plotamos versus . Jacob derivou a forma aproximada:
onde
é a transmissibilidade (
),
é a vazão (
), e
é uma constante que contém
(o coeficiente de armazenamento). Explicando termos:
-
é o abaixamento observado no tempo . -
é o logaritmo decimal do tempo (em segundos; a forma com a constante numérica que usaremos assume em segundos). - A inclinação (slope) da reta
na plotagem versus é
- A partir da inclinação
isolamos :
- Para
usamos a relação completa (resultado da manipulação algébrica da forma de Jacob/Theis). Se escolhemos um ponto observado e conhecemos , então
Explicação rápida dessa fórmula:
- O fator
vem da constante numérica da aproximação de Jacob no argumento do logaritmo. - É importante usar
em segundos e em para consistência das unidades na fórmula.
Resumo do procedimento prático:
- Converter
para e tempos para segundos. - Calcular
para cada tempo. - Ajustar (por mínimos quadrados) uma reta
versus para obter a inclinação . - Calcular
com a fórmula acima. - Usar um ponto tardio
(por exemplo o último) para calcular pela fórmula dada.
Passo 3
Conversões e preparo dos dados (mostro os cálculos dos
que vou usar)
Converter
de
para
:
Converter tempos de horas para segundos e calcular
:
Os
observados (pegos da tabela) são, em metros:
Passo 4
Ajuste linear por mínimos quadrados (cálculo da inclinação
da reta
vs
)
Defino
e
. Vou calcular os somatórios necessários para a inclinação pela fórmula clássica:
com
.
Calculei os seguintes valores (mostro os somatórios usados; todos os números abaixo foram obtidos a partir dos pares
listados no passo anterior):
Agora a inclinação:
Comentário amigável: ou seja, ao aumentarmos
por um fator 10, o abaixamento
aumenta em cerca de
na região linear tardia.]
Passo 5
Cálculo da transmissibilidade
a partir da inclinação
Usamos a fórmula de Jacob:
Substituindo
e
:
Portanto
]
Passo 6
Cálculo do coeficiente de armazenamento
usando um ponto tardio
Usamos a fórmula (já apresentada no passo 2):
Escolho o último ponto (tempo maior) para aplicar a fórmula:
e
. Também
e já temos
.
Calculemos passo a passo:
onde o numerador foi obtido multiplicando
.
Agora o expoente:
Portanto
Finalmente
Então
(adimensional).
Observação empática: esse valor de
é relativamente alto (ordem
a
), o que indica um aquífero com armazenamento significativo; faz sentido se o aquífero for pouco confinado ou apresentar boa porosidade. Se quiser, dá para recomputar
usando outro ponto tardio para ver consistência (resultados próximos indicam bom ajuste linear).