Na tabela abaixo são fornecidos os abaixamentos (m) e os tempos correspondentes (h), a partir do início do bombeamento, registrados num poço de observação, distante 40 m de um poço bombeado a uma taxa de 22 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Determinar os coeficientes de armazenamento e de transmissibilidade, usando o método de Jacob.
\mathrm{t}(\mathrm{h}) 1,8 2,7 5,4 9,0 18,0 54,0
\mathrm{~s}(\mathrm{~m}) 0,6 0,77 1,10 1,29 1,74 2,43

Passo 1

O enunciado fornece medições de tempo e de abaixamento num poço de observação, e pede para determinar os coeficientes de armazenamento e de transmissibilidade usando o método de Jacob. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{l|cccccc} t(\text{h}) & 1{,}8 & 2{,}7 & 5{,}4 & 9{,}0 & 18{,}0 & 54{,}0\\hline s(\text{m}) & 0{,}60 & 0{,}77 & 1{,}10 & 1{,}29 & 1{,}74 & 2{,}43 \end{array}
Outras informações explícitas do enunciado:
  • Vazão bombeada Q = 22\\ \mathrm{L/s}.
  • Distância entre poços r = 40\\ \mathrm{m}.
O que é pedido:
  • Determinar a transmissibilidade T e o coeficiente de armazenamento S usando o método de Jacob (aproximação de Theis em regime tardio).

Passo 2

Explicação didática do método de Jacob (o que vamos usar e por quê)
  1. Idea essencial: para um teste de bombeamento com resposta aquifer tipo Theis, em tempos suficientemente grandes a curva de abaixamento s versus t fica aproximadamente linear quando plotamos s versus \log_{10} t. Jacob derivou a forma aproximada:
s(t)=\frac{2{,}3\,Q}{4\pi T}\log_{10}(t)+C,
onde T é a transmissibilidade ( \mathrm{m^2/s}), Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s}), e C é uma constante que contém S (o coeficiente de armazenamento). Explicando termos:
  • s(t) é o abaixamento observado no tempo t.
  • \log_{10}(t) é o logaritmo decimal do tempo (em segundos; a forma com a constante numérica que usaremos assume t em segundos).
  • A inclinação (slope) da reta m na plotagem s versus \log_{10} t é
m=\frac{2{,}3\,Q}{4\pi T}.
  1. A partir da inclinação m isolamos T:
T=\frac{2{,}3\,Q}{4\pi m}.
  1. Para S usamos a relação completa (resultado da manipulação algébrica da forma de Jacob/Theis). Se escolhemos um ponto observado (t,s) e conhecemos T, então
S=\frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}}\;10^{-\,\dfrac{4\pi T s}{2{,}3\,Q}}.
Explicação rápida dessa fórmula:
  • O fator 2{,}25 vem da constante numérica da aproximação de Jacob no argumento do logaritmo.
  • É importante usar t em segundos e Q em \mathrm{m^3/s} para consistência das unidades na fórmula.
Resumo do procedimento prático:
  • Converter Q para \mathrm{m^3/s} e tempos para segundos.
  • Calcular \log_{10}(t) para cada tempo.
  • Ajustar (por mínimos quadrados) uma reta s versus \log_{10} t para obter a inclinação m.
  • Calcular T com a fórmula acima.
  • Usar um ponto tardio (t,s) (por exemplo o último) para calcular S pela fórmula dada.

Passo 3

Conversões e preparo dos dados (mostro os cálculos dos \log_{10} que vou usar)
Converter Q de \mathrm{L/s} para \mathrm{m^3/s}:
Q=22\\ \mathrm{L/s}=22\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}022\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter tempos de horas para segundos e calcular \log_{10}(t):
\begin{array}{l|c|c} t(\text{h}) & t(\text{s}) & \log_{10}(t)\\hline 1{,}8 & 1{,}8\cdot 3600 = 6480 & \log_{10}(6480)\approx 3{,}8115\\\\ 2{,}7 & 9720 & \log_{10}(9720)\approx 3{,}9872\\\\ 5{,}4 & 19440 & \log_{10}(19440)\approx 4{,}2889\\\\ 9{,}0 & 32400 & \log_{10}(32400)\approx 4{,}5105\\\\ 18{,}0 & 64800 & \log_{10}(64800)\approx 4{,}8115\\\\ 54{,}0 & 194400 & \log_{10}(194400)\approx 5{,}2889 \end{array}
Os s observados (pegos da tabela) são, em metros:
0{,}60,\\\ 0{,}77,\\\ 1{,}10,\\\ 1{,}29,\\\ 1{,}74,\\\ 2{,}43.

Passo 4

Ajuste linear por mínimos quadrados (cálculo da inclinação m da reta s vs \log_{10} t)
Defino x=\log_{10}(t) e y=s. Vou calcular os somatórios necessários para a inclinação pela fórmula clássica:
m=\frac{N\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{N\sum x^{2} - (\sum x)^{2}},
com N=6.
Calculei os seguintes valores (mostro os somatórios usados; todos os números abaixo foram obtidos a partir dos pares x,y listados no passo anterior):
\begin{aligned} \sum x &\approx 26{,}6985,\\\ \sum y &= 0{,}60+0{,}77+1{,}10+1{,}29+1{,}74+2{,}43=7{,}93,\\\ \sum xy &\approx 37{,}1160,\\\ \sum x^{2} &\approx 120{,}2876. \end{aligned}
Agora a inclinação:
\begin{aligned} \text{num} &= N\sum xy - (\sum x)(\sum y) \approx 6\cdot 37{,}1160 - 26{,}6985\cdot 7{,}93 \approx 10{,}9770,\\[4pt] \text{den} &= N\sum x^{2} - (\sum x)^{2} \approx 6\cdot 120{,}2876 - (26{,}6985)^{2} \approx 8{,}9155,\\[4pt] m &\approx \frac{10{,}9770}{8{,}9155}\approx 1{,}231\\ (\text{metros por década decimal}). \end{aligned}é
Comentário amigável: ou seja, ao aumentarmos t por um fator 10, o abaixamento s aumenta em cerca de 1{,}231\\ \mathrm{m} na região linear tardia.]

Passo 5

Cálculo da transmissibilidade T a partir da inclinação m
Usamos a fórmula de Jacob:
T=\frac{2{,}3\,Q}{4\pi m}.
Substituindo Q=0{,}022\\ \mathrm{m^{3}/s} e m\approx 1{,}231:
\begin{aligned} 2{,}3\,Q &= 2{,}3\times 0{,}022 = 0{,}0506,\\[4pt] 4\pi m &\approx 4\pi\times 1{,}231 \approx 15{,}465,\\[4pt] T &\approx \frac{0{,}0506}{15{,}465}\approx 0{,}00327\\ \mathrm{m^{2}/s}. \end{aligned}
Portanto \,T\approx 3{,}27\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/s}.]

Passo 6

Cálculo do coeficiente de armazenamento S usando um ponto tardio
Usamos a fórmula (já apresentada no passo 2):
S=\frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}}\;10^{-\,\dfrac{4\pi T s}{2{,}3\,Q}}.
Escolho o último ponto (tempo maior) para aplicar a fórmula: t=54{,}0\\ \text{h}=194400\\ \text{s} e s=2{,}43\\ \mathrm{m}. Também r=40\\ \mathrm{m} e já temos T\approx 0{,}00327\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Calculemos passo a passo:
\begin{aligned} \frac{2{,}25\,T\,t}{r^{2}} &\approx \frac{2{,}25\times 0{,}00327\times 194400}{40^{2}} \\\ &\approx \frac{1431{,}17}{1600}\approx 0{,}89448, \end{aligned}
onde o numerador foi obtido multiplicando 2{,}25\cdot T\cdot t.
Agora o expoente:
\frac{4\pi T s}{2{,}3\,Q}\approx \frac{4\pi \times 0{,}00327 \times 2{,}43}{2{,}3\times 0{,}022}\approx 1{,}9765.
Portanto
10^{-\,\dfrac{4\pi T s}{2{,}3\,Q}}\approx 10^{-1{,}9765}\approx 0{,}01055.
Finalmente
S \approx 0{,}89448\times 0{,}01055 \approx 0{,}00944.
Então S\approx 9{,}4\times 10^{-3} (adimensional).
Observação empática: esse valor de S é relativamente alto (ordem 10^{-3} a 10^{-2}), o que indica um aquífero com armazenamento significativo; faz sentido se o aquífero for pouco confinado ou apresentar boa porosidade. Se quiser, dá para recomputar S usando outro ponto tardio para ver consistência (resultados próximos indicam bom ajuste linear).

Resposta

T \approx 3{,}27\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/s}
S \approx 9{,}44\times 10^{-3}

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