Água a
escoa sobre uma placa plana a uma velocidade de
. A placa tem
de comprimento e 2 m de largura. Admita que a camada-limite sobre cada face da placa seja laminar.
Determine a força de arrasto total exercida pelo escoamento sobre a placa
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a força de arrasto total sobre a placa:
- Velocidade do escoamento:
. - Temperatura do fluido (água):
. - Comprimento da placa (na direção do escoamento):
. - Largura da placa (perpendicular ao escoamento, usada para área):
. - É dito: “Admita que a camada-limite sobre cada face da placa seja laminar.” Ou seja, aplicar as fórmulas da camada-limite laminar em placa plana.
- O enunciado quer: a força de arrasto total exercida pelo escoamento sobre a placa (presumo que incluam as duas faces da placa).
Informações adicionais que precisaremos (propriedades da água a
; usei valores padrão de tabelas):
- Densidade:
. - Viscosidade cinemática:
.
Passo 2
Conceito e fórmula-chave que vamos usar (explicação didática):
Quando a camada-limite é laminar sobre uma placa plana com escoamento uniforme de velocidade
, a solução de Blasius dá o coeficiente de atrito local
onde
é o número de Reynolds baseado na coordenada local
medida a partir da borda dianteira, e
é a viscosidade cinemática.
O esforço cortante na parede (tensão de cisalhamento) local é relacionado ao coeficiente local por
A força de arrasto por unidade de largura da placa (força por comprimento transversal) é a integral de
ao longo de
de
a
:
Fazendo essa integral (vou mostrar o passo) obtém-se uma fórmula prática para o coeficiente médio de atrito na placa até
:
onde
. Então a força de arrasto total sobre uma face da placa (área
) pode ser escrita como
Se a placa tem duas faces expostas ao escoamento (frente e costas), a força total é
.
Passo 3
Derivação rápida do fator
(para você entender de onde vem):
Começamos com
Substituindo
,
Dividindo por
para obter o coeficiente médio,
Isso confirma a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Calcular o número de Reynolds baseado em
:
Usamos
. Substituindo os valores:
Observação: embora esse valor seja maior que o típico valor crítico para transição em placas planas (da ordem de
), o enunciado pede explicitamente que assumamos camada-limite laminar, então seguimos com essa hipótese.
Passo 5
Calcular o coeficiente médio de atrito sobre a placa até
:
Com
,
Expliquei:
é adimensional e representa a fração da pressão dinâmica média que equivale ao esforço cortante médio na superfície.
Passo 6
Calcular a pressão dinâmica (meio usada para transformar
em força):
A pressão dinâmica é
Substituindo
e
,
Passo 7
Calcular a área de cada face e a força de arrasto por face:
Área de uma face:
Força de arrasto numa face:
Aqui eu multipliquei a pressão dinâmica pela fração
e pela área para obter força (unidades: Pa·m^2 = N).
Passo 8
Força total considerando as duas faces da placa (cada face tem camada-limite laminar, conforme dito):
Passo 9
Comentário final e incentivo:
- Resultado obtido sob a hipótese explícita do enunciado (camada-limite laminar). Na prática, para
esperaríamos transição para turbulento antes do bordo de saída; aí o arrasto real seria maior. Mas como você foi instruído a assumir laminar, o procedimento acima é o correto para a prova. - Você fez bem em pedir passo a passo — a fórmula chave é
e lembrar de multiplicar por área e por 2 (duas faces).
Resposta
5,82 N