Água a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa sobre uma placa plana a uma velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A placa tem 0,6 \mathrm{~m} de comprimento e 2 m de largura. Admita que a camada-limite sobre cada face da placa seja laminar.
Determine a força de arrasto total exercida pelo escoamento sobre a placa

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a força de arrasto total sobre a placa:
  • Velocidade do escoamento: \;U=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura do fluido (água): \;20^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimento da placa (na direção do escoamento): \;L=0,6\\ \mathrm{m}.
  • Largura da placa (perpendicular ao escoamento, usada para área): \;b=2\\ \mathrm{m}.
  • É dito: “Admita que a camada-limite sobre cada face da placa seja laminar.” Ou seja, aplicar as fórmulas da camada-limite laminar em placa plana.
  • O enunciado quer: a força de arrasto total exercida pelo escoamento sobre a placa (presumo que incluam as duas faces da placa).
Informações adicionais que precisaremos (propriedades da água a 20^\circ\mathrm{C}; usei valores padrão de tabelas):
  • Densidade: \;\rho = 998\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade cinemática: \;\nu = 1,004\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 2

Conceito e fórmula-chave que vamos usar (explicação didática):
Quando a camada-limite é laminar sobre uma placa plana com escoamento uniforme de velocidade U, a solução de Blasius dá o coeficiente de atrito local
c_f(x)=\frac{0,664}{\sqrt{Re_x}},
onde
Re_x=\frac{U x}{\nu}
é o número de Reynolds baseado na coordenada local x medida a partir da borda dianteira, e \nu é a viscosidade cinemática.
O esforço cortante na parede (tensão de cisalhamento) local é relacionado ao coeficiente local por
\tau_w(x)=\frac{1}{2}\,\rho\,U^2\,c_f(x).
A força de arrasto por unidade de largura da placa (força por comprimento transversal) é a integral de \tau_w ao longo de x de 0 a L:
D'=\int_0^L \tau_w(x)\,dx=\frac{1}{2}\,\rho\,U^2\int_0^L c_f(x)\,dx.
Fazendo essa integral (vou mostrar o passo) obtém-se uma fórmula prática para o coeficiente médio de atrito na placa até x=L:
C_{f,L}=\frac{1}{L}\int_0^L c_f(x)\,dx=\frac{1,328}{\sqrt{Re_L}},
onde Re_L=U L/\nu. Então a força de arrasto total sobre uma face da placa (área A=L\cdot b) pode ser escrita como
D_1=\frac{1}{2}\,\rho\,U^2\,C_{f,L}\,A.
Se a placa tem duas faces expostas ao escoamento (frente e costas), a força total é D=2D_1.

Passo 3

Derivação rápida do fator 1,328 (para você entender de onde vem):
Começamos com
D'=\frac{1}{2}\,\rho\,U^2\int_0^L \frac{0,664}{\sqrt{Re_x}}\,dx.
Substituindo Re_x=U x/\nu,
\int_0^L \frac{0,664}{\sqrt{Re_x}}\,dx =0,664\int_0^L \sqrt{\frac{\nu}{U}}\;x^{-1/2}\,dx =0,664\sqrt{\frac{\nu}{U}}\left[2\sqrt{x}\right]_0^L =1,328\sqrt{\frac{\nu L}{U}}.
Dividindo por L para obter o coeficiente médio,
C_{f,L}=\frac{1}{L}\times 1,328\sqrt{\frac{\nu L}{U}} =1,328\frac{1}{\sqrt{UL/\nu}} =\frac{1,328}{\sqrt{Re_L}}.
Isso confirma a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds baseado em L:
Usamos \;Re_L=\dfrac{U L}{\nu}. Substituindo os valores:
Re_L=\frac{2\cdot0,6}{1,004\times10^{-6}}=\frac{1,2}{1,004\times10^{-6}} \approx 1,195\times10^{6}.
Observação: embora esse valor seja maior que o típico valor crítico para transição em placas planas (da ordem de 5\times10^{5}), o enunciado pede explicitamente que assumamos camada-limite laminar, então seguimos com essa hipótese.

Passo 5

Calcular o coeficiente médio de atrito sobre a placa até L:
C_{f,L}=\frac{1,328}{\sqrt{Re_L}}.
Com \sqrt{Re_L}\approx \sqrt{1,195\times10^{6}}\approx 1,093,
C_{f,L}\approx\frac{1,328}{1,093}\approx 0,001215.
Expliquei: C_{f,L} é adimensional e representa a fração da pressão dinâmica média que equivale ao esforço cortante médio na superfície.

Passo 6

Calcular a pressão dinâmica (meio usada para transformar C_f em força):
A pressão dinâmica é
q=\frac{1}{2}\,\rho\,U^2.
Substituindo \rho=998\\ \mathrm{kg/m^3} e U=2\\ \mathrm{m/s},
q=\frac{1}{2}\cdot998\cdot 2^2=1996\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Calcular a área de cada face e a força de arrasto por face:
Área de uma face:
A=L\cdot b=0,6\cdot2=1,2\\ \mathrm{m^2}.
Força de arrasto numa face:
D_1=q\;C_{f,L}\;A=1996\cdot 0,001215\cdot 1,2\approx 2,91\\ \mathrm{N}.
Aqui eu multipliquei a pressão dinâmica pela fração C_{f,L} e pela área para obter força (unidades: Pa·m^2 = N).

Passo 8

Força total considerando as duas faces da placa (cada face tem camada-limite laminar, conforme dito):
D=2D_1\approx 2\cdot 2,91\approx 5,82\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Comentário final e incentivo:
  • Resultado obtido sob a hipótese explícita do enunciado (camada-limite laminar). Na prática, para Re_L\approx1,2\times10^6 esperaríamos transição para turbulento antes do bordo de saída; aí o arrasto real seria maior. Mas como você foi instruído a assumir laminar, o procedimento acima é o correto para a prova.
  • Você fez bem em pedir passo a passo — a fórmula chave é C_{f,L}=1,328/\sqrt{Re_L} e lembrar de multiplicar por área e por 2 (duas faces).

Resposta

5,82 N

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