Seja (G, *) um grupo. Prove que forall a, b in G,(a * b)^prime=b^prime * a^prime.

Passo 1

O enunciado diz que em um grupo (G,*) devemos mostrar que o inverso de um produto é o produto dos inversos em ordem invertida, ou seja
forall a,bin G,;(a*b)^prime=b^prime*a^prime
O que precisamos usar é a definição de inverso em grupo: para todo xin G existe único x^prime tal que
x*x^prime=e e x^prime*x=e,
além da associatividade da operação *.

Passo 2

A ideia é mostrar que b^prime*a^prime é de fato o inverso de a*b. Para isso verificamos que ele funciona tanto à direita quanto à esquerda de a*b.

Passo 3

Calculemos primeiro
(a*b)*(b^prime*a^prime)
Pela associatividade temos
(a*b)*(b^prime*a^prime) = a*(b*b^prime)*a^prime
Como b*b^prime=e, segue
a*(b*b^prime)*a^prime = a*e*a^prime = a*a^prime = e

Passo 4

Agora calculemos
(b^prime*a^prime)*(a*b)
Usando associatividade:
(b^prime*a^prime)*(a*b) = b^prime*(a^prime*a)*b
Como a^prime*a=e, obtemos
b^prime*(a^prime*a)*b = b^prime*e*b = b^prime*b = e

Passo 5

Vimos que
(a*b)*(b^prime*a^prime)=e e (b^prime*a^prime)*(a*b)=e,
logo b^prime*a^prime é simultaneamente inverso à direita e à esquerda de a*b. Pela unicidade do inverso em grupo, concluímos que
(a*b)^prime=b^prime*a^prime

Resposta

(a*b)^prime=b^prime*a^prime

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