Seja
um grupo. Prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que em um grupo
devemos mostrar que o inverso de um produto é o produto dos inversos em ordem invertida, ou seja
O que precisamos usar é a definição de inverso em grupo: para todo
existe único
tal que
além da associatividade da operação
.
Passo 2
A ideia é mostrar que
é de fato o inverso de
. Para isso verificamos que ele funciona tanto à direita quanto à esquerda de
.
Passo 3
Calculemos primeiro
Pela associatividade temos
Como
, segue
Passo 4
Agora calculemos
Usando associatividade:
Como
, obtemos
Passo 5
Vimos que
logo
é simultaneamente inverso à direita e à esquerda de
. Pela unicidade do inverso em grupo, concluímos que