1.75 Use o produto vetorial e determine as condições que devem satisfazer os vetores a e b para que a+b e a-b sejam paralelos.

Passo 1

O enunciado pede para achar as condições sobre os vetores a e b tais que a+b e a-b sejam paralelos. O conteúdo principal é paralelismo de vetores e usaremos a propriedade
dois vetores (u) e (v) são para<=los iff u times v = 0 ã

Passo 2

Denotemos
u = a + b, v = a - b
Para que u e v sejam paralelos, basta que
utimes v = 0

Passo 3

Escrevemos
(a+b)times(a-b) = 0

Passo 4

Expandindo o produto vetorial, temos
(a+b)times(a-b) = atimesa ;-;atimesb;+;btimesa;-;btimesb

Passo 5

Usando atimesa=0, btimesb=0 e btimesa = -,atimesb, obtemos
(a+b)times(a-b) = -,atimesb ;-;atimesb = -2,(atimesb)

Passo 6

Portanto
-2,(atimesb) = 0 Longrightarrow atimesb = 0,
o que significa que a e b são colineares (paralelos).

Passo 7

Escrevendo a condição de colinearidade em termos de escalares, existe lambdainR tal que
b = lambda,a

Resposta

As condições são
atimesb = 0 Long<=ftrightarrow b = lambda,a,;lambdainR,
ou seja, a e b devem ser paralelos.

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