Abaixo faremos duas questões não relacionadas a respeito de distribuições de suporte compacto.
Seja u in D^prime(Omega) uma distribuição. Suponha que sing supp ( u ) seja um compacto de Omega. Mostre que existe uma função f in C^infty(Omega) e uma distribuição v in E^prime(Omega) tal que
u=f+v
(Acima, f é vista no sentido de distribuições, ou seja, f(phi)=Tf(phi)=integralOmega f(x) phi(x) d x para todo phi in Cc^infty(Omega).

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição uinD'(Omega) cujo suporte singular Sing,Supp(u) é um compacto KsubsetOmega. Queremos escrever
u = f + v
onde fin C^infty(Omega) (vista como distribuição) e vinE'(Omega) (distribuição de suporte compacto). Para isso vamos usar uma função de corte (ou cutoff) que isole K numa vizinhança interna de Omega e as propriedades de suporte e suavidade de distribuições multiplicadas por funções suaves.

Passo 2

Como Sing,Supp(u)=K é compacto, existe um aberto U com
Ksubset UsubsetUsubsetOmega
e uma função de corte chiin Cc^infty(Omega) tal que
chi(x)=1para todo xin U, suppchisubsetOmega é compacto é

Passo 3

Definimos as duas partes da decomposição por multiplicação em distribuições:
v ;=;chi,u, f ;=;(1-chi),u
Então imediatamente
u = chi,u + (1-chi),u = v + f

Passo 4

Mostramos que vinE'(Omega). De fato, chiin Cc^infty(Omega) e a operação umapsto chi,u produz uma distribuição cujo suporte está contido em suppchi. Como suppchi é compacto em Omega, concluímos que v é uma distribuição de suporte compacto, logo vinE'(Omega).

Passo 5

Mostramos que fin C^infty(Omega). Note que 1-chi é uma função suave que vale zero numa vizinhança de K=Sing,Supp(u). Logo a distribuição
(1-chi),u tem suporte contido em Omegasetminus K, e por definição de suporte singular isso implica que (1-chi)u é representável por uma função suave em toda Omega. Em outras palavras, existe fin C^infty(Omega) tal que, como distribuição,
f(varphi) =l((1-chi),ur)(varphi), forall,varphiin Cc^infty(Omega)

Resposta

Tomando uma função de corte chiin Cc^infty(Omega) que vale 1 num entorno de K=Sing,Supp(u), definimos
v=chi,uinE'(Omega), f=(1-chi),uin C^infty(Omega)
Então u=f+v, como pedido.

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