Abaixo faremos duas questões não relacionadas a respeito de distribuições de suporte compacto.
Seja uma distribuição. Suponha que sing supp ( ) seja um compacto de . Mostre que existe uma função e uma distribuição tal que
(Acima, é vista no sentido de distribuições, ou seja, para todo .
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição cujo suporte singular é um compacto . Queremos escrever
onde (vista como distribuição) e (distribuição de suporte compacto). Para isso vamos usar uma função de corte (ou cutoff) que isole numa vizinhança interna de e as propriedades de suporte e suavidade de distribuições multiplicadas por funções suaves.
Passo 2
Como é compacto, existe um aberto com
e uma função de corte chiin Cc^infty(Omega) tal que
chi(x)=1para todo xin U, suppchisubsetOmega é compacto é
Passo 3
Definimos as duas partes da decomposição por multiplicação em distribuições:
v ;=;chi,u, f ;=;(1-chi),u
Então imediatamente
u = chi,u + (1-chi),u = v + f
Passo 4
Mostramos que vinE'(Omega). De fato, chiin Cc^infty(Omega) e a operação umapsto chi,u produz uma distribuição cujo suporte está contido em suppchi. Como suppchi é compacto em Omega, concluímos que v é uma distribuição de suporte compacto, logo vinE'(Omega).
Passo 5
Mostramos que fin C^infty(Omega). Note que 1-chi é uma função suave que vale zero numa vizinhança de K=Sing,Supp(u). Logo a distribuição (1-chi),u tem suporte contido em Omegasetminus K, e por definição de suporte singular isso implica que (1-chi)u é representável por uma função suave em toda Omega. Em outras palavras, existe fin C^infty(Omega) tal que, como distribuição,