Abaixo são apresentadas três séries. Faça a identificação da série e analise a convergência. Dica: Deixe claro qual o teste que está sendo utilizado e a razão de tal escolha.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para identificar a série e analisar sua convergência. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{3}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é \sin n, que é uma sequência oscilante (não tem limite) mas é sempre limitada: |\sin n|\le 1 para todo n.
  • O denominador é n^{3}, que cresce sem limite com n.
    O que se pede: decidir se a série converge ou diverge e justificar usando um teste adequado (deixe claro qual teste e por quê).

Passo 2

Vou testar a convergência absoluta, que é uma abordagem natural quando o termo geral tem uma função limitada multiplicando uma potência de n. Considere a série das modulações dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin n}{n^{3}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{n^{3}}.
Como |\sin n|\le 1, para todo n vale a desigualdade
\frac{|\sin n|}{n^{3}}\le\frac{1}{n^{3}}.
Agora uso o Teste da Comparação Direta: se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge então \sum a_n também converge. Aqui posso tomar a_n=\dfrac{|\sin n|}{n^{3}} e b_n=\dfrac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Preciso verificar que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge. Isto é um caso do teste da série-p (p‑série): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Uma justificativa rápida via o Teste da Integral é calcular
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Para p\neq 1 essa integral vale
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{\infty}.
Se p>1 então 1-p<0 e x^{1-p}\to 0 quando x\to\infty, logo a integral é finita. No nosso caso p=3>1, então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
converge.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação Direta, de \dfrac{|\sin n|}{n^{3}}\le\dfrac{1}{n^{3}} e da convergência de \sum 1/n^{3} segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{n^{3}}
converge. Isso significa que a série original converge absolutamente. Lembrando um resultado crucial: se \sum |a_n| converge (convergência absoluta), então \sum a_n converge (convergência simples também ocorre). A prova desse fato usa o critério de Cauchy ou desigualdade triangular, mas aqui basta usar o teorema padrão.

Passo 5

Comentário sobre a escolha do teste: escolhi o Teste da Comparação Direta aplicado à série dos valores absolutos porque \sin n é limitada por 1 e o denominador é uma potência n^{3}. Esse padrão casa naturalmente com a p‑série \sum 1/n^{p}. Alternativas como o Teste de Leibniz (séries alternadas) não se aplicam diretamente porque \sin n não tem sinal alternado de forma regular e nem é monotônica; já o uso da comparação com a p‑série é simples, direto e fornece convergência absoluta (que é mais forte).

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{3}} é absolutamente convergente e, portanto, converge.

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