Abaixo são dadas as derivadas das funções. Determine os seus pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais:
f(x)=x(x+2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x(x+2)=x^2+2x
e pede que a gente encontre os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida), os intervalos de aumento e de queda e os extremos locais. Vamos usar o teste da derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^2+2x\bigr)=2x+2.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(x) a zero:
2x+2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Não há pontos onde f' seja indefinida, então o único ponto crítico é x=-1.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=2x+2:
  • Se x<-1, então 2x+2<0, logo f é decrescente em (-\infty,-1).
  • Se x>-1, então 2x+2>0, logo f é crescente em (-1,\infty).

Passo 5

Como f' muda de negativo para positivo em x=-1, temos um mínimo local aí. O valor dessa função em x=-1 é
f(-1)=(-1)^2+2(-1)=1-2=-1.

Resposta

Ponto crítico: x=-1.
Intervalo de crescimento: (-1,\infty).
Intervalo de decrescimento: (-\infty,-1).
Extremo local: mínimo local em \bigl(-1,-1\bigr).

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