Uma escada com 4 metros de comprimento está apoiada em uma parede, quando sua base começa a escorregar, afastando-se dela. No momento em que a base está 3,5 metros da parede, ela escorrega a uma taxa de
.
(a) A que taxa o topo da escada escorrega para baixo?
(b) A que taxa a área do triângulo formado pela escada, parede e solo, varia?
(c) A que taxa o ângulo
formado pela escada e pelo solo, varia?
(a) A que taxa o topo da escada escorrega para baixo?
(b) A que taxa a área do triângulo formado pela escada, parede e solo, varia?
(c) A que taxa o ângulo
Passo 1
O enunciado descreve uma escada de comprimento constante de
m, com a base a uma distância
da parede e o topo a uma altura
do chão. Sabemos que
m/s quando
m, e queremos encontrar:
(a) neste instante,
(b) onde
é a área do triângulo formado pela escada, chão e parede,
(c) onde
é o ângulo entre escada e chão.
Vamos usar cálculo de taxas relacionadas e as relações geométricas
(a)
(b)
(c)
Vamos usar cálculo de taxas relacionadas e as relações geométricas
Passo 2
Para achar
, derivamos
em relação a
:
No instante dado,
e
Logo
Passo 3
Para
com
, usamos
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 4
Para
, usamos
. Derivando,
Mas
. Então
Resposta
(a)
m/s
(b) /s
(c) rad/s
(b)
(c)