Abaixo são dadas as derivadas das funções. Determine os seus pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais:
f(x)=(x+5)(x+1)(x-7)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = (x+5)(x+1)(x-7)
e pede os pontos críticos, os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais. Este é um problema de análise de função: vamos calcular f'(x), achar onde f'(x)=0, estudar o sinal de f' e, por fim, classificar os extremos.

Passo 2

Primeiro expandimos f(x) para facilitar a diferenciação:
(x+5)(x+1) = x^2 + 6x + 5,
f(x) = (x^2 + 6x + 5)(x-7) = x^3 - x^2 -37x -35.
Dessa forma,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^3 - x^2 -37x -35\bigr) = 3x^2 -2x -37.

Passo 3

Para achar os pontos críticos resolvemos
3x^2 -2x -37 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot3\cdot(-37)}}{2\cdot3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 444}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{448}}{6} = \frac{2 \pm 8\sqrt7}{6} = \frac{1 \pm 4\sqrt7}{3}.
Logo, os pontos críticos são
x_1 = \frac{1 - 4\sqrt7}{3}, \quad x_2 = \frac{1 + 4\sqrt7}{3}.

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 em f'(x) é positivo ( 3>0), a parábola de f' abre para cima. Então:
  • Em x < x_1, f'(x)>0 (função crescente).
  • Em x_1 < x < x_2, f'(x)<0 (função decrescente).
  • Em x > x_2, f'(x)>0 (função crescente).

Passo 5

Pelo critério de variação de sinal de f':
  • Em x_1, f' passa de positivo para negativo \to máximo local.
  • Em x_2, f' passa de negativo para positivo \to mínimo local.
    Os valores de f nesses pontos são
f\bigl(x_1\bigr) \approx 40{,}413, \quad f\bigl(x_2\bigr) \approx -135{,}065.

Resposta

Pontos críticos:
\displaystyle x = \frac{1 - 4\sqrt7}{3} e \displaystyle x = \frac{1 + 4\sqrt7}{3}.
Intervalos de crescimento:
\displaystyle (-\infty, \tfrac{1 - 4\sqrt7}{3})\cup(\tfrac{1 + 4\sqrt7}{3},\infty).
Intervalo de decrescimento:
\displaystyle (\tfrac{1 - 4\sqrt7}{3},\,\tfrac{1 + 4\sqrt7}{3}).
Extremos locais:
Máximo local em \bigl(\tfrac{1 - 4\sqrt7}{3},\,40{,}413\bigr).
Mínimo local em \bigl(\tfrac{1 + 4\sqrt7}{3},\,-135{,}065\bigr).

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