Abaixo são dados pontos e retas. Considere-os como foco e diretriz de parábolas. Determine as equações e plote os gráficos (Geogebra).
F=(14, 0), r: x=-14.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre parábolas onde foi dado um ponto chamado foco, que é , e uma reta que é a diretriz, que é . O conteúdo que vamos usar aqui é a definição de parábola, que envolve foco e diretriz, e vamos precisar usar um pouco de geometria analítica para encontrar a equação dessa parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. Ou seja, para qualquer ponto na parábola, a distância de até o foco deve ser igual à distância de até a diretriz .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para encontrar a equação da parábola. A distância entre raiz(x - 14)^2 + (y - 0)^2 e o foco x - (-14) = x + 14 é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
raiz(x - 14)^2 + y^2 = x + 14
A distância de até a diretriz é a distância horizontal, já que a diretriz é uma reta vertical. Então, essa distância é:
De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais:

Passo 4

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada para facilitar a resolução. Para isso, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
(x - 14)^2 + y^2 = (x + 14)^2
Expandindo os termos:
x^2 - 12x + 116 + y^2 = x^2 + 12x + 116

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos -12x + y^2 = 12x e y^2 = x de ambos os lados:
Agora, somamos em ambos os lados:

Resposta

A equação da parábola com foco em y^2 = x e diretriz é:
Você pode plotar esse gráfico no Geogebra para visualizar a parábola!

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