Abaixo são dados pontos e retas. Considere-os como foco e diretriz de parábolas. Determine as equações e plote os gráficos (Geogebra).
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre parábolas onde foi dado um ponto chamado foco, que é
, e uma reta que é a diretriz, que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é a definição de parábola, que envolve foco e diretriz, e vamos precisar usar um pouco de geometria analítica para encontrar a equação dessa parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. Ou seja, para qualquer ponto
na parábola, a distância de
até o foco
deve ser igual à distância de
até a diretriz
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para encontrar a equação da parábola. A distância entre
e o foco
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância de
até a diretriz
é a distância horizontal, já que a diretriz é uma reta vertical. Então, essa distância é:
De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais:
Passo 4
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada para facilitar a resolução. Para isso, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
Expandindo os termos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos
e
de ambos os lados:
Agora, somamos
em ambos os lados:
Resposta
A equação da parábola com foco em
e diretriz
é:
Você pode plotar esse gráfico no Geogebra para visualizar a parábola!