Considere a solução y do PVI
l (x^2-1) y^prime prime-x y^prime+y=0 y(0)=1, y^prime(0)=-1
Encontre y^(4)(0) (derivada de ordem 4 de y em x=0 ).
Dica: Considere a série de Taylor, centrada em x=0, da função y :
y(x)=sumn=0^infty y^(n)(0)n! x^n=y(0)+y^prime(0) x+y^prime prime(0)2! x^2+y^prime prime prime(0)3! x^3+y^(4)(0)4! x^4+ldots
Observe que se y(x)=sumn=0^infty an x^n temos, igualando coeficiente a coeficiente, que y^(4)(0)=4!a4.

Passo 1

A gente tem um PVI de segundo grau em y, com condições y(0)=1 e y’(0)=-1, e queremos y^{(4)}(0). O conteúdo é método de séries de Taylor (série de potências) para resolver EDO. Vamos usar a expansão em potência centrada em x=0 pra achar uma relação de coeficientes.

Passo 2

Assumimos y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n. Daí y’(x)=∑_{n=1}^∞ n a_n x^{n-1} e y’’(x)=∑_{n=2}^∞ n(n-1)a_n x^{n-2}.

Passo 3

Substituindo em (x^2−1)y’‘−x y’+y=0: escrevemos x^2 y’’=∑_{n=0}^∞ n(n-1)a_n x^n e −y’’=−∑_{n=0}^∞ n(n-1)a_n x^{n−2}, também −x y’=−∑_{n=0}^∞ n a_n x^n e +y=∑_{n=0}^∞ a_n x^n. Igualando coeficientes de x^m obtemos
(m−1)^2am−(m+2)(m+1)am+2=0

Passo 4

Como y(0)=1 e y’(0)=−1, temos a_0=1 e a_1=−1. Aí, usando a_{m+2}=\frac{(m−1)^2}{(m+2)(m+1)}a_m, calculamos a_2,a_3,a_4: para m=0 dá a_2=\tfrac{1}{2}, para m=1 dá a_3=0, para m=2 dá a_4=\tfrac{1}{24}.

Passo 5

Por fim, como y^{(4)}(0)=4!·a_4=24·\tfrac{1}{24}=1, concluímos que a derivada de ordem 4 em x=0 é 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados