Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especialmente com as propriedades das parábolas. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma parábola e como determinar seu foco e diretriz.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola vertical (aberta para cima ou para baixo) pode ser escrita na forma:
No nosso caso, a equação é simplesmente
, o que indica que a parábola está aberta para baixo, já que o coeficiente de
é negativo.
Passo 3
Para facilitar a identificação do foco e diretriz, vamos reescrever a equação da parábola na forma padrão:
Onde
é o vértice da parábola, e
é a distância entre o vértice e o foco (bem como entre o vértice e a diretriz).
Passo 4
Comparando
com a forma padrão
, percebemos que o vértice está em
.
Reescrevendo a equação:
Então:
Isso nos mostra que
, portanto:
Passo 5
Com o valor de
, podemos determinar o foco e a diretriz.
O foco está localizado a uma distância
do vértice na direção para onde a parábola está aberta. Como
, e a parábola está aberta para baixo, o foco está abaixo do vértice.
Portanto, as coordenadas do foco são:
Passo 6
A diretriz é uma linha horizontal (já que a parábola é vertical) localizada a uma distância
do vértice na direção oposta da abertura.
Então, a equação da diretriz é:
Resposta
O foco da parábola
está em
e a diretriz é a reta
.