Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
y=-x^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o foco e a diretriz da parábola dada pela equação . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especialmente com as propriedades das parábolas. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma parábola e como determinar seu foco e diretriz.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola vertical (aberta para cima ou para baixo) pode ser escrita na forma:
y = a x^2 + b x + c
No nosso caso, a equação é simplesmente , o que indica que a parábola está aberta para baixo, já que o coeficiente de é negativo.

Passo 3

Para facilitar a identificação do foco e diretriz, vamos reescrever a equação da parábola na forma padrão:
(x - h)^2 = 4 p (y - k)
Onde é o vértice da parábola, e é a distância entre o vértice e o foco (bem como entre o vértice e a diretriz).

Passo 4

Comparando x^2 = -y com a forma padrão (x - 0)^2 = -1 cdot (y - 0) , percebemos que o vértice está em p = -14 .
Reescrevendo a equação:
Então:
Isso nos mostra que , portanto:

Passo 5

Com o valor de (h, k + p) = (0, 0 - 14) = (0, -14) , podemos determinar o foco e a diretriz.
O foco está localizado a uma distância do vértice na direção para onde a parábola está aberta. Como , e a parábola está aberta para baixo, o foco está abaixo do vértice.
Portanto, as coordenadas do foco são:

Passo 6

A diretriz é uma linha horizontal (já que a parábola é vertical) localizada a uma distância y = k - p = 0 - (-14) = 14 do vértice na direção oposta da abertura.
Então, a equação da diretriz é:

Resposta

O foco da parábola está em e a diretriz é a reta .

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