Verifique:
a) Se
e
são funções ímpares então
e
são funções pares.
b) Se
e
são funções ímpares então
são funções ímpares.
c)
é função par e
é função ímpar para toda função
. Então toda função pode ser escrita como soma de uma função par e de uma função ímpar.
a) Se
b) Se
c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar três propriedades sobre funções pares e ímpares: a) que o produto e o quociente de funções ímpares são pares; b) que a soma e a subtração de funções ímpares são ímpares; c) que qualquer função pode ser decomposta em uma parte par e uma parte ímpar. O conteúdo é paridade de funções e vamos precisar usar as definições de função par e ímpar e operar sobre elas.
Passo 2
Para começar, a gente lembra das definições: uma função
é par se, para todo
, valer
, e é ímpar se valer
.
Passo 3
Vamos provar o item a). Suponha que
e
sejam ímpares. Então
o que mostra que
é par. Para o quociente, desde que
,
logo
também é par.
Passo 4
Agora o item b). Ainda com
e
ímpares,
portanto
é ímpar.
Passo 5
Por fim, no item c) vamos construir para qualquer função
duas funções:
que satisfaz
ou seja, é par; e
que satisfaz
portanto é ímpar. Além disso
Isso mostra que toda função pode ser escrita como soma de uma parte par e de uma parte ímpar.
Resposta
As afirmações a), b) e c) são verdadeiras.