Verifique:
a) Se f e g são funções ímpares então f g e fg são funções pares.
b) Se f e g são funções ímpares então f pm g são funções ímpares.
c) 12[f(x)+f(-x)] é função par e 12[f(x)-f(-x)] é função ímpar para toda função f. Então toda função pode ser escrita como soma de uma função par e de uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para verificar três propriedades sobre funções pares e ímpares: a) que o produto e o quociente de funções ímpares são pares; b) que a soma e a subtração de funções ímpares são ímpares; c) que qualquer função pode ser decomposta em uma parte par e uma parte ímpar. O conteúdo é paridade de funções e vamos precisar usar as definições de função par e ímpar e operar sobre elas.

Passo 2

Para começar, a gente lembra das definições: uma função f é par se, para todo x, valer f(-x)=f(x), e é ímpar se valer f(-x)=-f(x).

Passo 3

Vamos provar o item a). Suponha que f e g sejam ímpares. Então
(f,g)(-x)=f(-x)cdot g(-x)=(-f(x))cdot(-g(x))=f(x)cdot g(x)=(f,g)(x),
o que mostra que f,g é par. Para o quociente, desde que g(x)neq0,
l(fgr)(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=l(fgr)(x),
logo f/g também é par.

Passo 4

Agora o item b). Ainda com f e g ímpares,
(fpm g)(-x)=f(-x)pm g(-x)=-f(x)pm(-g(x))=-(f(x)pm g(x))=-(fpm g)(x),
portanto fpm g é ímpar.

Passo 5

Por fim, no item c) vamos construir para qualquer função f duas funções:
E(x)=f(x)+f(-x)2,
que satisfaz
E(-x)=f(-x)+f(x)2=E(x),
ou seja, é par; e
O(x)=f(x)-f(-x)2,
que satisfaz
O(-x)=f(-x)-f(x)2=-f(x)-f(-x)2=-O(x),
portanto é ímpar. Além disso
E(x)+O(x)=f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2=f(x)
Isso mostra que toda função pode ser escrita como soma de uma parte par e de uma parte ímpar.

Resposta

As afirmações a), b) e c) são verdadeiras.

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