Abaixo são escritas as quatro equações de Maxwell no vácuo.
nabla cdot E=0 nabla cdot B=0 nabla times E=-partial Bpartial t nabla times B=mu0 varepsilon0 partial Epartial t
A partir dessas equações, obtenha a equação da onda para o campo elétrico e para o campo magnético,
& mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2-nabla^2 E=0 & mu0 varepsilon0 partial^2 Bpartial t^2-nabla^2 B=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente pegar as quatro equações de Maxwell no vácuo e a partir delas, chegar nas equações da onda para os campos elétrico E e magnético B. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e rotacional, e entender como as ondas eletromagnéticas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação de Maxwell que relaciona o rotacional do campo elétrico ao campo magnético:
nabla times E = -partial Bpartial t
Queremos chegar em uma equação que envolva segundas derivadas no tempo e no espaço, então vamos aplicar o rotacional novamente em ambos os lados dessa equação.

Passo 3

Aplicando o rotacional no lado esquerdo da equação, temos:
nabla times (nabla times E)
Sabemos que, de identidade vetorial, isso pode ser escrito como:
nabla (nabla cdot E) - nabla^2 E
Mas, pela primeira equação de Maxwell no vácuo, nabla cdot E = 0, então:
nabla times (nabla times E) = -nabla^2 E

Passo 4

Agora, aplicando o rotacional no lado direito da equação inicial, temos:
nabla times ( -partial Bpartial t ) = -partialpartial t (nabla times B)
Pela quarta equação de Maxwell no vácuo:
nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Substituindo:
-partialpartial t ( mu0 varepsilon0 partial Epartial t ) = -mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2

Passo 5

Igualando os dois resultados obtidos:
-nabla^2 E = -mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
Multiplicando ambos os lados por -1:
mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2 - nabla^2 E = 0
Pronto, essa é a equação da onda para o campo elétrico. Podemos fazer um procedimento semelhante para o campo magnético B e chegar na equação da onda correspondente.

Resposta

As equações da onda para os campos elétrico e magnético são:
mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2 - nabla^2 E = 0
e
mu0 varepsilon0 partial^2 Bpartial t^2 - nabla^2 B = 0

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