Abaixo são escritas as quatro equações de Maxwell no vácuo.
A partir dessas equações, obtenha a equação da onda para o campo elétrico e para o campo magnético,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente pegar as quatro equações de Maxwell no vácuo e a partir delas, chegar nas equações da onda para os campos elétrico
e magnético
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e rotacional, e entender como as ondas eletromagnéticas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação de Maxwell que relaciona o rotacional do campo elétrico ao campo magnético:
Queremos chegar em uma equação que envolva segundas derivadas no tempo e no espaço, então vamos aplicar o rotacional novamente em ambos os lados dessa equação.
Passo 3
Aplicando o rotacional no lado esquerdo da equação, temos:
Sabemos que, de identidade vetorial, isso pode ser escrito como:
Mas, pela primeira equação de Maxwell no vácuo,
, então:
Passo 4
Agora, aplicando o rotacional no lado direito da equação inicial, temos:
Pela quarta equação de Maxwell no vácuo:
Substituindo:
Passo 5
Igualando os dois resultados obtidos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Pronto, essa é a equação da onda para o campo elétrico. Podemos fazer um procedimento semelhante para o campo magnético
e chegar na equação da onda correspondente.
Resposta
As equações da onda para os campos elétrico e magnético são:
e